专题15等腰三角形和直角三角形-备战2021年中考数学考点帮（江苏专用）

专题15等腰三角形和直角三角形（江苏专用） 一、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 （2）等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 2、等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推论： 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 二.等边三角形 1.定义 三条边都相等的三角形是等边三角形. 2.性质： 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 3.判定 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 三.线段垂直平分线 1.定义 垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 2.性质 线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等 3.判定 到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 四、直角三角形 1.定义 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 2.性质 （1）直角三角形两锐角互余. （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 3.判定 （1）两个内角互余的三角形是直角三角形. （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 五、勾股定理及逆定理 1. 勾股定理： 直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2; 2. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 六、互逆命题、互逆定理 1.互逆命题 如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.互逆定理 若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理. 一、单选题 1．（2020·江苏盐城市·九年级一模）等腰三角形一底角平分线与另一腰所成锐角为，则等腰三角形的顶角大小为　　 A． B． C．或 D．或 2．（2020·江苏南通市·九年级二模）如图，C是线段AB上一动点，，都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝6，则线段MN的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 3．（2020·苏州市吴江区笠泽实验初级中学九年级其他模拟）如图，在底边BC为2，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长为（ ） A．2+ B．2+2 C．4 D．3 4．（2020·江苏扬州市·九年级二模）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A．5，11，12 B．5，12，13 C．4，5，6 D．，2， 5．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学九年级其他模拟）如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A、B 分别落在直线l1、l2上，∠ACB＝90°，若∠1＝15°，则∠2的度数是（ ） A．35° B．30° C．25° D．20° 二、填空题 6．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为_____． 7．（2020·江苏常州市·中考真题）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°． 8．（2020·镇江实验学校九年级一模）在是斜边上的中线，将 沿直线CM 折叠，点 A 落在点 D 处，如果CD 恰好与 AB 垂直，那么∠A 等于________度． 9．（2020·江苏淮安市·九年级二模）如图，在中， ， ，点在上， ，则的度数是_________. 10．（2020·江苏苏州市·九年级二模）如图，在中，是的中点，是上一点，若平分的周长，则的长等于_____________________． 11