河南省南阳市2020-2021学年高三上学期期末数学（理）试题

2020年秋期高中三年级期终质量评估 数学试题(理) 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟. 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效. 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀. 第Ⅰ卷选择题(共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（ ）∪B＝（ ） A. （﹣∞，2） B. [2，+∞） C. （1，2） D. （﹣∞，1）∪[2，+∞） 【答案】D 2. 已知复数 满足 (其中 为虚数单位)，则复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 4. 若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5. 函数 的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 6. 已知抛物线的焦点在 轴上，顶点在坐标原点 ，且经过点 ，若点 到该抛物线焦点的距离为 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 7. 已知球面上 三点， 是球心.如果 ，且球的体积为 ，则三棱锥 的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 8. 在 中，角 的对边分别为 若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 9. 记函数 ，若不等式 ，对 恒成立，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 10. 先将函数 的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度后得到函数 的图象，若方程 有实根，则 的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 11. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形 .其中黑色阴影区域在 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题: ①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 ； ②当 时，直线 与白色部分有公共点； ③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点 ，则 最大值为 ； ④若点 ， 为圆 过点 的直径，线段 是圆 所有过点 的弦中最短的弦，则 的值为 . 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 12. 已知A，B，C是双曲线 上的三个点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若 ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 第Ⅱ卷非选择题(共90分) 二、填空题:（每题5分，共20分） 13. 已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为______ 【答案】4 14. 随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，已知P(ξ<0)=0.3，则P(ξ<2)=_____. 【答案】0.7 15. 已知 的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______. 【答案】270 16. 已知矩形 中， ，沿对角线 将三角形 折起，使得点 在平面 上的射影在线段 上，此时 的值是__________． 【答案】 三.解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.) (一)必考题:共60分. 17. 已知数列 是一个等差数列，且 ， ，数列 是各项均为正数的等比数列，且满足: . （1）求数列 与 的通项公式； （2）设数 列满足 ，其前 项和为 求证: 【答案】（1） ， ；（2）见解析. 18. 如图,在四棱锥 中,四边形 是直角梯形, 底面 EMBED Equation.DSMT4 ,是 的中点. （1）.求证:平面 平面 ; （2）.若二面角 的余弦值为 ,求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2） . 19. 在平面直角坐标系中，已知 ，直线 ： ，点 为平面内的动点，过点 做直线 的垂线，垂足为点 ，且 ，点 的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）设 ，过 且与 轴不重合的直线 与曲线 相交于不同的两点 ， .则 的内切圆的面积是否存在最