专题15 双曲线（客观题）-2021年高考数学（理）二轮复习热点题型精选精练

专题15 双曲线（客观题） 一、单选题 1．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．3 【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文） 【答案】C 【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立的等量关系式求解． 【解析】取的中点D，连结，设，则， 因为，所以， 从而，故选C． 【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 2．已知双曲线：(，)的左､右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的右支交于，直线与的左支交于，若，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】D 【分析】设，则由题设和双曲线的定义可得，，，利用勾股定理可求的值及离心率． 【解析】连接．因为以为直径的圆与双曲线的右支交于，故． 设，则，，，， 由为直角三角形，故，解析，故，，因为为直角三角形，故，故．故选D． 【名师点睛】与焦点三角形有关的离心率的计算，注意利用双曲线的定义实现边的关系的转化，必要时需多次转化． 3．直线和双曲线的渐近线相交于，两点，则线段的长度为 A． B． C． D． 【试题来源】四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测（理） 【答案】A 【解析】双曲线的渐近线为， 设与相交于A点，与相较于B点， 由解得，由解得， 所以，故选A． 4．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D 【分析】先求出抛物线的方程，从而得到的值，根据离心率得到渐近线方程，由渐近线与直线垂直得到的值，从而可得双曲线的方程． 【解析】因为到其焦点的距离为5，故，故，故抛物线的方程为，故．因为离心率为，故，故， 根据抛物线和双曲线的对称性，不妨设在第一象限，则， 则与渐近线垂直，故，故，故， 故双曲线方程为．故选D． 【名师点睛】（1）上一点到其焦点的距离为，解题中注意利用这个结论．（2）如果直线与直线垂直，那么． 5．已知双曲线的左､右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为，交双曲线左支于，若，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】A 【分析】写出圆方程，与渐近线方程联立解得得点坐标，由可表示出点坐标，点坐标代入双曲线方程整理后可求得． 【解析】，圆方程为， 由， 由，，解得，即， 设Q(x0，y0)，由，，得，， 因为在双曲线上，所以，， 解得（舍去），故选A 【名师点睛】解题关键是找到关于的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得点坐标，由向量线性关系得点坐标，代入双曲线方程可得． 6．已知知是椭圆与双曲线的公共焦点，是在第二象限的公共点．若，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文） 【答案】B 【分析】求出椭圆焦点得双曲线焦点，从而得双曲线的，利用勾股定理和椭圆的定义求得得双曲线的实轴长，可得双曲线离心率． 【解析】易知椭圆的焦点坐标为， 设双曲线方程为，则， 记，由在椭圆上有， 所以，即，， 所以双曲线离心率为．故选B． 7．设双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为 A． B． C． D． 【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校2020-2021学年高三12月联考 【答案】B 【分析】根据，即可求解． 【解析】由题意，双曲线：的离心率为，即， 所以，所以的渐近线方程为．故选B． 8．已知双曲线，其中为其一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 A． B． C． D．3 【试题来源】山西省运城市河津中学2021届高三上学期阶段性测评（文） 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合离心率的定义，即可求解． 【解析】由题意，双曲线，其中为其一条渐近线方程，可得， 所以双曲线的离心率为．故选C． 9．过原点的直线与双曲线：（，）相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的渐近线的斜率为 A． B． C． D． 【试题来源】安徽省六安市