专题14 双曲线（客观题）-2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

专题14 双曲线（客观题） 一、单选题 1．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．3 【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文） 【答案】C 【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立的等量关系式求解． 【解析】取的中点D，连结，设，则， 因为，所以， 从而，故选C． 【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 2．已知双曲线：(，)的左､右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的右支交于，直线与的左支交于，若，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】D 【分析】设，则由题设和双曲线的定义可得，，，利用勾股定理可求的值及离心率． 【解析】连接．因为以为直径的圆与双曲线的右支交于，故． 设，则，，，， 由为直角三角形，故，解析，故，，因为为直角三角形，故，故．故选D． 【名师点睛】与焦点三角形有关的离心率的计算，注意利用双曲线的定义实现边的关系的转化，必要时需多次转化． 3．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D 【分析】先求出抛物线的方程，从而得到的值，根据离心率得到渐近线方程，由渐近线与直线垂直得到的值，从而可得双曲线的方程． 【解析】因为到其焦点的距离为5，故，故，故抛物线的方程为，故．因为离心率为，故，故， 根据抛物线和双曲线的对称性，不妨设在第一象限，则， 则与渐近线垂直，故，故，故， 故双曲线方程为．故选D． 【名师点睛】（1）上一点到其焦点的距离为，解题中注意利用这个结论．（2）如果直线与直线垂直，那么． 4．已知双曲线的左､右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为，交双曲线左支于，若，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】A 【分析】写出圆方程，与渐近线方程联立解得得点坐标，由可表示出点坐标，点坐标代入双曲线方程整理后可求得． 【解析】，圆方程为， 由， 由，，解得，即， 设Q(x0，y0)，由，，得，， 因为在双曲线上，所以，， 解得（舍去），故选A 【名师点睛】解题关键是找到关于的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得点坐标，由向量线性关系得点坐标，代入双曲线方程可得． 5．已知双曲线的左焦点为F，左顶点为A，直线交双曲线于P､Q两点(P在第一象限)，直线与线段交于点B，若，则该双曲线的离心率为 A．2 B．3 C．4 D．5 【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理） 【答案】D 【分析】设，，联立直线与双曲线方程即可求出设，的坐标，设，由，所以，即可表示出的坐标，再根据、、在一条直线上，所以，即可求出得到方程，从而得解； 【解析】依题意可得，，因为在第一象限，所以，设，，联立直线与双曲线方程，消去得，解得，所以，， 设，由，所以， 即 即解得即 因为、、在一条直线上，所以， 即， 即， 即， 所以，解得，所以，故选D. 6．已知知是椭圆与双曲线的公共焦点，是在第二象限的公共点．若，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文） 【答案】B 【分析】求出椭圆焦点得双曲线焦点，从而得双曲线的，利用勾股定理和椭圆的定义求得得双曲线的实轴长，可得双曲线离心率． 【解析】易知椭圆的焦点坐标为， 设双曲线方程为，则， 记，由在椭圆上有， 所以，即，， 所以双曲线离心率为．故选B． 7．设点分别为双曲线的左右焦点，点分别在双曲线的左、右支上，若，且则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理） 【答案】B 【解析】因为，所以共线，设，则， ，所以， 所以，结合双曲线定义得， 所以，整理得．或， 若，则，，不满足，舍去， 若，则，，满足，，， 所以在中， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，所以．故选