专题13 直线与圆的方程（客观题）-2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

专题13 直线与圆的方程（客观题） 一、单选题 1．从直线：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形(为坐标原点)面积的最小值是 A． B． C． D．2 【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】B 【分析】由题意可得当点P与圆心的距离最小时，切线长PC、PD最小，此时四边形的面积最小，由距离公式和面积公式求解可得． 【解析】因为圆的圆心为，半径，当点P与圆心的距离最小时，切线长PC、PD最小，此时四边形的面积最小，所以圆心到直线的距离，所以，所以四边形的面积．故选B． 【名师点睛】明确四边形的面积何时最小是解决问题的关键，借助切线与过切点的半径垂直即可求出四边形的面积． 2．过点作圆与圆的切线，切点分别为､，若，则的最小值为 A． B． C． D． 【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】B 【分析】首先根据，圆与的半径相等，为直角三角形，得到，进而得到点在线段的垂直平分线上；然后求出此平分线表达式，得到点的只含有的坐标，代入，得到二次函数，求其最小值即可． 【解析】如图所示，由圆的切线的性质得， 在中有，由题知， ，所以点在线段的垂直平分线上； 由题知，所以与的中点的坐标为， 与所在直线的斜率为，所在直线的斜率为， 直线的方程为，即， 点在，所以点的坐标满足， 所以，故选B． 【名师点睛】本题主要考查直线与圆相切的性质及函数的最值；解题方法是根据已知条件，将表示为只含有一个未知数的函数，然后根据二次函数的特征求出其最小值；解题的关键点是找出点所在的一条直线，进而用一个未知数表示出其坐标，进而求得的最小值． 3．过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为 A． B． C． D． 【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理） 【答案】A 【分析】作出图形，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，计算出圆的圆心到直线的距离为，可知圆内不在任何切点弦上的点形成以原点为圆心，半径为的圆的内部，利用圆的面积公式可求得结果． 【解析】如下图所示，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、， 则，，， 则，且为锐角，所以，同理可得， 所以，，则为等边三角形，连接交于点， 为的角平分线，则为的中点，， 且，， 若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于， 即圆内的这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部， 因此，圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为．故选A． 【名师点睛】解本题的关键在于确定圆内不切点弦上的点所构成的区域，为此需要计算出圆的圆心到切点弦的距离，找出临界位置进行分析． 4．若直线与曲线和圆都相切，则的方程为 A． B． C． D． 【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理） 【答案】A 【分析】根据题意将曲线的切线方程表示出来，根据解出，即可得出答案． 【解析】法一：设曲线的切点， 根据导数几何意义可得点处的切线斜率， 所以切线方程，即， 因为切线也与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即， 解得或（舍去）．所以切线方程为故选A． 法二：画出曲线和圆的图形如下： 结合图形可得要使直线与曲线和圆都相切， 则直线，横截距，纵截距，B， C， D均不符合，故选A． 【名师点睛】若已知曲线过点，求曲线过点的切线方程的方法 （1）当点是切点时，切线方程为． （2）当点不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标； 第二步：写出过点的切线方程； 第三步：将点的坐标代入切线方程求出； 第四步：将的值代入方程可得过点的切线方程． 5．已知直线上有两点，，且，已知若，且，满足，则这样的点 A个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【试题来源】浙江省杭州高级中学钱江校区2020-2021学年高三上学期12月月考 【答案】B 【分析】设和的夹角为，由已知条件可得出 或，由正弦定理可得外接圆的半径为，由此可以求出圆心到直线的距离为 ，进而推出外接圆圆心所在直线的方程，由圆心到原点的距离也是半径，可以求出圆心的个数，一个圆心对应一个点，从而可以求出点的个数． 【解析】因为直线上有两点，，且， 设和的夹角为，则，，， ，， 所以即转化为， 因为，所以， 解得，因为，所以或， 若，由正弦定理可得外接圆的半径为， 设外接圆的圆心为，则到直线的距离为 ， 所以圆心在与直线平行且距离为的两条平行直线，上，且到原点的距离为， 原点到直线的距离为 ， 所以直线上面不存在这样的点， 原点到直线的距离为 ， 所以直线上存在两个这样的点到原点的距离为， 一个点对应一个点，所以这样的点有2个，故选B