第8讲 二元二次方程组(讲义）-【教育机构专用】2020-2021学年八年级数学寒假辅导讲义（沪教版）

第8讲 二元二次方程组 模块一：二元二次方程组的解法 知识精讲 1．二元二次方程的概念 方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 2．二元二次方程组的概念 仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程组成的方程组叫做二元二次方程组． 3．二元二次方程组的解法 （1）代入消元法； （2）加减消元法． 例题解析 例1.下列方程是哪些是二元二次方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【难度】★ 【答案】（2）、（3）、（5）． 【解析】根据二元二次方程的概念：方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高 次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 【总结】考察二元二次方程的概念． 例2.下列方程中哪些是二元二次方程组? （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★ 【答案】（3）． 【解析】根据二元二次方程组概念：仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整 式方程组成的方程组叫做二元二次方程组． 【总结】考察二元二次方程组的概念． 例3.已知与是关于x、y的二元二次方程的两组解，试求 a+b的值． 【难度】★★ 【答案】或 【解析】将，，代入，得：，解得：． 当时，；当时，； 或． 【总结】考察二元二次方程组的灵活应用． 例4.当m为何值时，方程组是关于x、y的二元二次方程组? 【难度】★★ 【答案】． 【解析】只有是二次项，因此． 【总结】考察二元二次方程组的概念：仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程组成的方程组叫做二元二次方程组． 例5.解方程组： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）解：，由（1）得：（3）； 将（3）代入（2）得：， 整理得：，解得：， ． ∴原方程组的解为：； （2）解：，由（1）得：（3）； 将（3）代入（2）得： 整理得：，解得：， ， ∴原方程组的解为：． 【总结】考察利用代入消元法解二元二次方程组． 例6.解下列方程组： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）， 由（2）得：或； 将代入（1）得：，解得：，， 将代入（1）得：，， ∴原方程组的解为：； （2），由（1）得：，或； 或 （3） （4）得：，把代入（3），得：； （5）（6）得：，把代入（5），得：； ∴原方程组的解为：． 【总结】考察解二元二次方程组的代入消元法和加减消元法的运用． 例7.解下列方程组： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）， 由（1）、（2）变形可化为， ， ∴原方程的解为：； （2） 由（1）、（2）变形可化为 ∴原方程组的解为：． 【总结】考察利用加减消元法求二元二次方程组的解． 例8.当k为何值时，方程组：有实数解． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】解：，由（2）得（3），把（3）代入（1）得：， 整理得：，方程组有解，即有解， ，即， ． 【总结】考察二元二次方程组解法与一元二次方程根的判别式相结合的综合能力． 例9.已知a、b、c是△ABC的三边长，若方程组，只有一组解， 判断△ABC的形状． 【难度】★★ 【答案】等腰三角形． 【解析】，由（2）得， 代入（1）得：， 因为方程组只有一组解，所以， 即， a、b、c是△ABC的三边长，，． △ABC是等腰三角形． 【总结】考察消元法解二元二次方程组与根的判别式的综合应用． 例10.解方程． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】解：，由（1），得：（3）， 由（3）（4），得：， ， 代入（1），得，整理解得：， 代入，得：或 ∴原方程组的解为：． 【总结】考察二元二次方程组的解法． 例11.解方程组：． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】解：，（1）-（2），得，， ∴原方程组可化为：， ∴原方程组的解为：． 【总结】考察利用因式分解法求二元二次方程组的解． 例12.当a取哪些值时，方程组：有两组实数解． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】解：，由两个方程相减得， 由（2）得， 为解的方程为，， 方程组有两组实数解， 有两个不相等的实数根， ，即，． 【总结】考察了消元法与跟的判别式以及韦达定理的综合应用能力． 例13.已知关于x、y的方程组： （1） 求证：不论k取何值，方程组总有两个不同的实数根； （2） 设方程组的两个不同的实数解为，则的值是常数． 【难度】★★★ 【答