专题12利用导数研究函数的性质C辑-2021年高考数学压轴必刷题（第二辑）

2021年高考数学压轴必刷题（第二辑） 专题12利用导数研究函数的性质C辑 1．已知函数(e为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 由，得，且 由，则 若，则，此时，在上单调递增，至多有一个零点，不满足题意. 若，设，则，所以在上单调递增 由，所以有唯一实数根，设为，即 则当时，，，则在单调递减， 当时，，，则在单调递增， 所以当时， 由可得，即，即 所以， 又当时，， 当，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得 所以函数有两个不同零点，则 设，则 当时，有，则在上单调递增. 当时，有，则在上单调递减. 又当时，， 所以当时，，当时，， 所以的解集为 故答案为： 2．已知恒正函数，.若，且.则的最大值为_______. 【答案】 由柯西不等式得，构造函数，利用已知求出c，再由因为， 所以， 所以，当且仅当等号成立， 因为，所以， 所以，由得，所以，， 所以. 故答案为：. 3．已知函数，，若不等式有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围为_________. 【答案】 由不等式，可得， 即有且仅有一个整数解， 令， 则，显然， 则时，，所以单调递增， 当时，，故单调递减， 所以函数在时取得最大值， 作函数的大致图象如下， 由及函数图象可知， 要使，有且仅有一个整数解，则需， 即， 故答案为： 4．已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为______． 【答案】 因为， 令，所以，所以在上单调递增， 又因为在上单调递减，所以在上单调递增， 又因为， 所以在上恒成立在上恒成立， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 设，所以，且， 当时，，所以在上递增，所以，满足； 当时，令，所以，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，这与矛盾，所以不满足， 综上可知：， 故答案为：. 5．已知对任意，都有，则实数的取值范围为_________． 【答案】 因为， 所以①， 令，则， 所以， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以在单调递增， 因为①式可化为， 所以，所以， 令， 所以可求得在单调递增，在单调递减， 所以，所以， 故答案为：. 6．若对任意的正实数，均有恒成立，则是实数的最小值为______. 【答案】 由，可知当时， 且 令，， 在单调递减，在单调递增，， ∴在上单调递增 时，，，而 ∴， 设，， 当，单调递增 当，单调递减 ，所以 故答案为： 7．已知函数，下列结论中正确的序号是__________. ①的图象关于点中心对称， ②的图象关于对称， ③的最大值为， ④既是奇函数，又是周期函数. 【答案】①②④ ,故①正确； ,故②正确； ，其中. 记,,则,令，解得， 列表如下： -1 1 - - 0 + 0 - - 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 0 =，故=，故③错误； ，故为奇函数， ，故是周期函数， 故④正确. 故答案为：①②④. 8．若函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数的图像只有一个交点． ∵，， ∴函数与函数的图像的唯一交点为． 又∵，且，， ∴在上恒小于零，即在上为单调递减函数． 又∵，当且仅当，即时等号成立，且是最小正周期为2．最大值为的正弦型函数， ∴可得函数与函数的大致图像如图所示． ∴要使函数与函数的图像只有唯一一个交点，则． ∵，， ∴，解得． 对∵，∴实数的取值范围为． 故答案为：. 9．设，当时，不等式恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 由题意，令则 令，可得当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增， ， ， 即等价于， 令 则令可得：， 当时，递减，时，递增， 当时，所以的解集为 的取值范围是. 故答案为： 10．已知函数，若的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为______. 【答案】 解：等价于，即， 设，，则上面不等式转化为， 直线横过定点， 要使的解集中恰有三个整数，只需的图像在的图像上方所对应的的取值范围中恰好有三个整数解. 因为, 所以时，，单调递增； 时，，单调递减； 所以时，， 且，时，；时，， 根据根据上述画出的图像图下图所示： 当时，画出的图像如图所示： 从图中可以看出，时，的图像横在的图像上方，所以所以的的取值范围中，整数解有无穷多个，不符合题意； 当时，画出的图像如图所示： 从图像可得：要使的图像在的图像上方所对应的的取值范围中恰好有三个整数解，只需满足： ，所以，解得：. 综上，. 故答案为： 11．在面积为2的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是____