专题11利用导数研究函数的性质B辑-2021年高考数学压轴必刷题（第二辑）

2021年高考数学压轴必刷题（第二辑） 专题11利用导数研究函数的性质B辑 1．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ） A． B． C．-2 D．-1 【答案】D 【解析】 ， 当时，单调递减， 当时，单调递增，， 即函数存在唯一零点，即， ，即在有零点， ①若，即， 此时的零点为，显然符合题意； ②（i）若，即或， 若在只有一个零点，则； （ii）若在只有两个零点， 则，解得， 即的最小值为，故选D. 2．函数，若函数在区间的取值范围为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C ， 当时，，易知时，， 时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上 单调递减，当时，，所以在区间 上单调递增，又因为，，当时，， 即，解得，当时，，所以当 时，，作出示意图，如图， 因为函数在区间的取值范围为，所以， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的取值范围为． 故选：C 3．已知函数只有一个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，0]∪[，+∞） B．（﹣∞，0]∪[，+∞） C．（﹣∞，0]∪[，+∞） D．（﹣∞，]∪[0，+∞） 【答案】A 由题意，函数，可得 因为函数只有一个极值点，即只有一个变号零点， （1）当时，，易知是的唯一极值点， （2）当时，方程可化为， 令，可得两函数都是奇函数， 所以只需判断时两函数无交点即可， ①当时，，可得是的唯一极值点， 故满足题意； ②当时，，所以在递增，且， 当时，， 设过原点的切线为，设切点为， 则，解得， 如图所示，当在直线下方（第一象限）时， 因为切线的切点为原点，所以也可以与切线重合，此时是唯一交点， 能满足的变换零点，即原函数的极值点，满足题意， 故，即， 综上可得，实数的取值范围是或， 即实数的取值范围是. 故选：A. 4．若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值是(　　) A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】 当时，不等式即为，显然成立， 当时，设， 所以不等式恒成立，即为不等式恒成立， 即有（当时等号成立）， 由题意可得，即有在时恒成立， 令函数，则， 令，即有， 令， 当时，，函数单调递增，由于，即有的根为2， 当时，函数单调递增，时，函数单调递减， 即有时，取得最小值，其最小值为， 所以实数的最大值为，故选D． 5．已知定义在上的函数，，其中为偶函数，当时，恒成立；且满足：①对，都有；②当时，.若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∵函数满足：当时，恒成立，∴函数为上的偶函数，且在上为单调递增函数，且有，∴，恒成立恒成立，只要使得定义域内，由，得，即函数的周期，∵时，，求导得，该函数过点，如图，且函数在处取得极大值，在处取得极小值，即函数在上的最大值为2，∵，函数的周期是，∴当时，函数的最大值为2，由，即，则，解得或. 故选D． 6．函数，当时，恒成立，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 取，则有，故. 又时，恒成立等价于在上恒成立. 令，， 当时，，时，， 所以在上减函数，在为增函数， 所以，故当时，有， 综上，. 故选：B. 7．已知函数f（x）满足，，当x＞0时，下列说法正确的是（ ） ①只有一个零点； ②有两个零点； ③有一个极小值点； ④有一个极大值点 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 令，则，， 即，∴， ∵，∴，∴，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 在处取得极大值，而这也是最大值，即③错误，④正确； 又，且当时，恒成立， 只有一个零点为，即①正确，②错误. ∴正确的有①④， 故选：B. 8．曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，则的递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 由题意，函数，，则，， 因为在处的切线与曲线在处的切线平行， 可得，即，即，解得， 所以，令，得， 即函数的递减区间为. 故选：D. 9．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 设，则， 函数单调递减，，故， ，即，即，故. 故选：D. 10．若关于x的不等式e2x﹣alnxa恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．[0，2e] B．（﹣∞，2e] C．[0，2e2] D．（﹣∞，2e2] 【答案】C 解：当a＜0时，f（x）＝e2x﹣alnx为（0，+∞）的增函数（增函数+增函数=增函数），此时时，f（x），所以不符合题意； 当a＝0时，e2x﹣alnxa即为e2x≥0显然成立； 当a＞0时，f（x）＝e2x﹣alnx的导数为＝2e2x， 由于y＝2e2x在（0，+∞）递增（增函数