专题09分段函数及其应用C辑-2021年高考数学压轴必刷题（第二辑）

2021年高考数学压轴必刷题（第二辑） 专题09分段函数及其应用C辑 1．已知，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是_____（结果用区间表示）． 【答案】 解：由， 可得：在的图象关于直线对称， 有2个不同的实根等价于的图象与直线的交点个数为2， 的图象与直线的位置关系如图所示， 设过原点的直线与相切与点， 由， 则此切线方程为：， 又此直线过原点， 则求得， 即切线方程为：， 由图可知：当的图象与直线的交点个数为2时， 实数的取值范围是， 故答案为． 2．已知函数，若命题“，且，使得”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【解析】 根据题意分析可知，问题等价于命题“，且，使得”是真命题， 当时，问题等价于，设，∴， ∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴， 当时，问题等价于，若：，∵，∴，故不等式显然成立，若：则，综上实数的取值范围是. 3．已知函数，（e＝2.71828…是自然对数的底数），若存在，使得成立，则实数的取值范围是____. 【答案】； 当时，，则， 即在递减，得， 当时，在递增，则， 综合得的值域为. 由题若存在，使得成立， 则，在有解， 即在在有解， 令，，， 则，在递减，的最小值， 又，在递减，的最大值， 则. 故答案为： 4．已知，函数，．若关于的方程有个解，则的取值范围为__________． 【答案】. 【解析】 令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有4个，根据图象可知，0＜λ＜1． 且4个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ， 则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ， x2﹣4x+1+4λ=10λ，x2﹣4x+1+4λ=均有两个不相等的实根， 则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0， 即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜， 当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立， 同理也恒成立； 故λ的取值范围为（0，）． 故答案为（0，）． 5．已知函数(且)在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是________. 【答案】. 解：∵ 函数(且)在上单调递减， ∴ ，解得：， ∵ 关于的方程恰好有两个不相等的实数解， ∴ 与的图象恰好有两个不同的交点， ∵过点， 当与有一交点， 当，时，与有一交点， 即在只有一个根， 所以有一正根和一负数根， 此时，得 或方程有一根为0，则 此时方程的另一根为，满足题意， 综上：， 故答案为： 6．已知函数是定义域为 的偶函数，，都有，当时，，则________. 【答案】5 解：由可知，关于对称，又因为是偶函数， 所以周期为2，则， . 故答案为:5. 7．定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 根据已知，当时，， 则当时，在处取到最小值， 当时，在处取到最小值， 所以在时在处取到最小值, 又因为， 可知当时，在时取到最小值，且，则. 为使当时，恒成立，需， 当时，可整理为，解得； 当时，可整理为，解得. 综上，实数的取值范围是 故答案为： 8．已知函数（且a为常数）和（且k为常数），有以下命题:①当时，函数没有零点；②当时，若恰有3个不同的零点，则；③对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点，且成等比数列.其中的真命题是_____（写出所有真命题的序号） 【答案】② ①因为，，由得，函数的零点，即是函数图像与直线交点的横坐标， 当时，恒成立，因为，所以时，函数显然没有零点； 当时，由得，即，即， 因为，所以恒成立，若时，函数可能有零点；若，函数没有零点；故①错； ②当时，因为恰有个不同零点，令，则关于的方程有两个不同的实数解，记作，不妨令； 做出函数的图像如下： 由图像可得：当时，与有个交点； 当时，与有个交点； 因为函数恰有个不同零点， 则有个根，记作；有个根，记作（不妨令）； 所以只需，，因此，， 所以；，，因此；故②正确； ③由，得； 所以函数与图像交点个数，即为函数的零点个数； 由②中图像可知：当时，与在上有个交点，即函数在上有个零点； 当时，若，则函数在上单调递增，因此函数与在上最多只有个交点，即函数在上最多只有个零点；不满足存在实数，使得有4个不同的零点； 若，由基本不等式可得：，即时，； 若，则函数与在上最多只有个交点，也不满足对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点.故③错. 故答案为：②. 9．已知函数若方程有四个解，且，则的取值范围为_________. 【答案】 由题知方程有4个解， 即与的图象有4个不同的交点. 作出2个函数的图象，如图所示，易知当时，有4个不同的交点，则，即，， 所以， 可看作关于的函数，记为， 又当时，，当时