专题08分段函数及其应用B辑-2021年高考数学压轴必刷题（第二辑）

2021年高考数学压轴必刷题（第二辑） 专题08分段函数及其应用B辑 1．已知函数 若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 解：由题意得：设，易得， 可得，与x轴的交点为， ① 当，由不等式对任意上恒成立，可得临界值时，相切，此时，， 可得，可得切线斜率为2，，，可得切点坐标（3，3）， 可得切线方程：，切线与x轴的交点为,可得此时，， 综合函数图像可得； ② 同理，当，由相切， （1）当，，可得，可得切线斜率为-2，，，可得切点坐标（1，3），可得切线方程，可得，综合函数图像可得， （2）当，，相切，可得， 此时可得可得切线斜率为-2，，，可得切点坐标, 可得切线方程：， 可得切线与x轴的交点为，可得此时，， 综合函数图像可得， 综上所述可得， 故选C. 2．已知函数与函数有相同的对称中心，若有最大值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 因为的对称中心为（0，1），则由平移知识可得，.如图作出函数与直线的图象， 它们的交点是，由，可以判断是函数的极大值点，由图象知当时，有最大值是或；当时，由，因此无最大值，∴所求的取值范围是. 3．定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 因为当时，不等式恒成立，所以， 当时， 当时，，当时， ，因此当时，，选B. 4．已知函数若关于的方程都有4个不同的根，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 都有4个不同的根，等价于的图象有四个交点， 因为， 所以，若，则，则； 若，则，则； 若，则，则； 若，则，则； 若，则，则； ， 作出的图象如图，求得， 则， 由图可知，时，的图象有四个交点， 此时，关于的方程有4个不同的根， 所以，的取值范围是，故选C . 5．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 函数有零点即有解，即， 由题意可知，当时，，当时，， 所以当时，，此时的取值范围为； 当时，，此时的取值范围为，时，； 当时，，此时的取值范围为，时，； 当时，，此时的取值范围为， 所以当时，有两解，即当时函数有两个零点， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以当时，也有两解， 所以函数共有四个零点，故选B。 6．已知函数（，且）在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 由函数的解析式可知函数在区间上单调递增， 当时，函数单调递减，由复合函数的单调性法则可知：， 且函数在处满足：，解得：，故， 方程恰有两个不相等的实数解，则函数与函数的图像有且仅有两个不同的交点， 绘制函数的图像如图中虚线所示， 令可得：， 由可知，， 则直线与函数的图像在区间上存在唯一的交点， 原问题转化为函数与二次函数在区间上存在唯一的交点， 很明显当，即时满足题意， 当直线与二次函数相切时，设切点坐标为，亦即， 由函数的解析式可得：，故：，则， 切点坐标为，从而：，即. 据此可得：的取值范围是. 故选D. 7．已知函数若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A , 当且仅当时，， 方程有且仅有两个不同的整数解等价于， 有两个不同的整数解， 即图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标为整数， 画出的图象，如图， ， 由图象可知，当时，即时， 图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标0，为整数， 所以的取值范围是，故选A. 8．已知函数定义在上的函数满足：，当，，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】 由，知函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以函数为偶函数.由，得函数的周期为4. 又 ， ， 而，，且， 所以.故选A. 9．设函数，若，则的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】D 解：分析题意，可知： ∵a为对数的底数， ∴a只能取a＞1和0＜a＜1两个范围． 又由题意∀x∈R，f（x）＞2， 而当0＜a＜1时，f（x）在x≥1时单调递减趋向﹣∞． ∴0＜a＜1不满足题意，舍去． ∴只有a＞1的情况合适． 当a＞1时，函数f（x）在x≥1时的表达式loga（x+3）在x≥1上单调递增， 且在x＝1时取最小值f（1）＝loga4＝2loga2． 由题意，∀x∈R，f（x）＞2， ∴必须有2loga2＞2，即：a＜2． 而在x＜1上， ∵a＜2． ∴f（x）＝（a﹣3）x+3a是递减的一次函数． 此时在x趋向于1时，f（x）＝（a﹣3）x+3a趋向于最小值4a﹣3． ∴4a﹣3≥2