专题16平面解析几何B辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题16平面解析几何B辑 历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系中,圆经过点, , ,则圆Ω上的点到原点的距离的最大值为 . 【答案】 【解析】记,圆经过点.注意到∠OBA=90°(直线OB与AB的斜率分别为1和),故OA为圆的直径.从而圆上的点到原点的距离的最大值为. 2．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】设A、B为椭圆的长轴顶点，E、F为的两个焦点，，，P为上一点，满足，则△PEF的面积为 . 【答案】1 【解析】不妨设平面直角坐标系中的标准方程为. 根据条件得2a=|AB|=4，，可知a=2，b=1， 且由椭圆定义知|PE|+|PF|=2a=4，结合得 ， 所以∠EPF为直角，进而. 3．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系中，若以(r+1，0)为圆心、r为半径的圆上存在一点(a，b)满足b2≥4a，则r的最小值为 . 【答案】4 【解析】由条件知，故. 即. 上述关于a的一元二次不等式有解，故判别式，解得r≥4. 经检验，当r=4时，满足条件.因此r的最小值为4. 4．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别是，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P.已知线段PU，PS，PV，PT的长分别为1，2，3，6，则△PF1F2的面积为 . 【答案】 【解析】由对称性，不妨设在第一象限，则由条件知， 即P(2，1).进而由得U(2，2)，S(4，1)， 代入椭圆C的方程知， 解得. 从而. 5．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设抛物线C:y2=2x的准线与x轴交于点A，过点B(－1，0)作一直线l与抛物线C相切于点K，过点A作l的平行线，与抛物线C交于点M，N，则△KMN的面积为 . 【答案】 【解析】设直线l与MN的斜率为k，则. 将l与C联立，得方程，由条件知其判别式为零，故. 将MN与C联立，得方程， 于是， 结合l与MN平行， 可知. 6．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为 . 【答案】 【解析】易知A(3，0)、F(0，1).设P的坐标是， 则 . 其中. 当时，四边形OAPF面积的最大值为. 7．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线的焦距为4，则a的值为 . 【答案】 【解析】二次曲线的方程可以写成. 显然必须有－a>0，故二次曲线为双曲线，其标准方程为. 则， 注意到焦距2c=4，可知，又a<0，所以. 8．【2016高中数学联赛（第01试）】双曲线C的方程为，左、右焦点分别为.过点F2作一直线与双曲线C的右半支交于点P、Q，使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ的内切圆半径是 . 【答案】 【解析】由双曲线的性质知，，. 因，故， 因此. 从而直角△F1PQ的内切圆半径是 . 9．【2015高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，点集K=所对应的平面区域的面积为 . 【答案】24 【解析】设， 先考虑K1在第一象限中的部分，此时有， 故这些点对应于图中的△OCD及其内部，由对称性知，K1对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部. 同理，设， 则K2对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部. 由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被K1，K2中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S. 由于直线CD的方程为，直线GH的方程为， 故它们的交点P的坐标为，由对称性知. 10．【2014高中数学联赛（第01试）】设椭圆的两个焦点是F1，F2，过点F1的直线与交于点P，Q，若，且，则椭圆的短轴与长轴的比值为 . 【答案】 【解析】不妨设，记椭圆的长轴、短轴的长度分别为2a，2b，焦距为2c，则， 且由椭圆的定义知， 于是， 设H为线段PF1的中点，则， 且有F2H⊥PF1，由勾股定理知， 即，解得c=5， 进而，因此椭圆的短轴与长轴的比值为. 11．【2013高中数学联赛（第01试）】若实数x，y满足，则x的取值范围是 . 【答案】 【解析】令，此时， 且条件中等式化为，从而a，b满足方程. 如图所示，在aOb平面内，点(a，b)的轨迹是以(1，2)为圆心，为半径的圆在a，b≥0的部分，即点O与弧ACB的并集. 因此，从而. 12．【2012高中数学联赛（第01试）】抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足，设线