专题19立体几何与空间向量B辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题19立体几何与空间向量B辑 历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】正三棱锥的所有棱长均为1,L,M,N分别为棱的中点,则该正三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为 . 【答案】 【解析】由条件知平面LMN与平面ABC平行,且点P到平面LMN,ABC的距离之比为1:2.设H为正三棱锥P-ABC的面ABC的中心,PH与平面LMN交于点K,则PH⊥平面ABC,PK⊥平面LMN,故. 正三棱锥P-ABC可视为正四面体,设O为其中心(即外接球球心),则O 在PH上,且由正四面体的性质知.结合可知OK=OH, 即点O到平面LMN,ABC等距.这表明正三棱锥的外接球被平面LMN,ABC所截得的截面圆大小相等. 从而所求截面的面积等于ΔABC的外接圆面积,即. 2．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】已知一个正三棱柱的各条棱长均为3,则其外接球的体积为 . 【答案】 【解析】如图,设面ABC和面的中心分别为和,记线段的中点为P,由对称性知,P为正三棱柱外接球的球心,PA为外接球的半径. 易知PO⊥AO,所以 故外接球的体积为. 3．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】如图，正方体ABCD－EFGH的一个截面经过顶点A、C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则的值为 . 【答案】 【解析】如图，记为截面所在平面.延长AK、BF交于点P，则P在上，故直线CP是与平面BCGF的交线.设CP与FG交于点L，则四边形AKLC为截面. 因平面ABC平行于平面KFL，且AK、BF、CL共点P，故ABC－KFL为棱台.不妨设正方体棱长为1，则正方体体积为1，结合条件知棱台ABC－KFL的体积. 设PF=h，则. 注意到PB、PF分别是棱锥P－ABC与棱锥P－KFL的高，于是 . 化简得3h2=1，故. 从而. 4．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设三棱锥P－ABC满足PA=PB=3，AB=BC=CA=2，则该三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【解析】设三棱锥P－ABC的高为h，取M为棱AB的中点，则. 当平面PAB⊥平面ABC时，h取到最大值. 此时三棱锥P－ABC的体积取到最大值. 5．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设点P到平面的距离为，点Q在平面上，使得直线PQ与所成角不小于30°且不大于60°，则这样的点Q所构成的区域的面积为 . 【答案】 【解析】设点P在平面a上的射影为O.由条件知，， 即OQ∈[1，3]，故所求的区域面积为. 6．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】已知圆锥的顶点为P，底面半径长为2，为1.在圆锥底面上取一点Q，使得直线PQ与底面所成角不大于45°，则满足条件的点Q所构成的区域的面积为 . 【答案】 【解析】圆锥顶点P在底面上的投影即为底面中心记之为O. 由条件知，，即OQ≥1， 故所求的区域面积为. 7．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】正三棱锥P－ABC中，AB=1，AP=2，过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】设AB、PC的中点分别为K、M，则易证平面ABM就是平面.由中线长公式知 ， 所以. 又易知直线PC在平面上的射影是直线MK，而MC=1，， 所以， 故棱PC与平面所成角的余弦值为. 8．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】在正四面体ABCD中，E、F分别在棱AB、AC上，满足BE=3，EF=4，且EF与面BCD平行，则△DEF的面积为 . 【答案】 【解析】由条件知，EF平行于BC.因为正四面体ABCD的各个面是全等的正三角形， 故. 由余弦定理得，， 同理有. 作等腰△DEF底边EF上的高DH，则， 故， 于是. 9．【2016高中数学联赛（第01试）】设P为一圆锥的顶点，A、B、C是其底面圆周上的三点，满足∠ABC=90°，M为AP的中点若AB=1，AC=2，AP=，则二面角M－BC－A的大小为 . 【答案】 【解析】由∠ABC=90°知，AC为底面圆的直径. 设底面中心为O，则PO⊥平面ABC.易知，进而. 设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点.在底面中作HK⊥BC于点K，则由三垂线定理知MK⊥BC，从而∠MKH为二面角M－BC－A的平面角. 因，结合HK与AB平行知，， 即，这样. 故二面角M－BC－A的大小为. 10．【2014高中数学联赛（第01试）】正四棱锥P－ABCD中，侧面是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB，BC的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是 . 【答案】 【解析】设底面对角线AC，BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，交MN于点H. 由于PO是底面的垂线，故， 又