专题07分段函数及其应用A辑-2021年高考数学压轴必刷题（第二辑）

2021年高考数学压轴必刷题（第二辑） 专题07分段函数及其应用A辑 1．已知函数,若实数,则函数的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 令，得，根据分段函数的解析式，做出函数的图象，如下图所示，因为，由图象可得出函数的零点个数为3个， 故选：D. 2．设函数，则函数的零点的个数为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】 ，转化为如图，画出函数和的图像， 当时，有一个交点， 当 时，，，此时，是函数的一个零点， ，，满足，所以在有两个交点， 同理，所以在有两个交点， ，所以在内没有交点， 当时，恒有，所以两个函数没有交点 所以，共有6个． 3．已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 作出函数图像可得，从而得，且，从而得，所以，令则，在上递增，所以. 故选：D. 4．已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 有最小值 根据题意，可得其最小值为， 则 或 解得或 则实数的取值范围是 故选 5．已知函数，则函数的零点个数为 A． B． C． D． 【答案】B 当时，， 据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 由函数的解析式易知函数在区间上单调递减， 绘制函数图像如图所示， 注意到， 故方程的解：， 则原问题转化为求方程时解的个数之和， 由函数图像易知满足题意的零点个数为7个. 本题选择B选项. 6．若函数的值域为，则的取值范围为（ ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】B ①若时，则当时，单调递增， 当时，在上单调递增， 在，上单调递减， 若函数值域为则需，解得； ②若时， 则当时，单调递减， 当时，在上单调递增，在，上单调递减，不满足函数值域为，不符合题意，舍去， 综上：的取值范围为，， 故选： 7．已知且，函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 解：当时，， ， 由得（舍）或，此时为增函数， 由得，此时为减函数， 则当时，取得极大值，极大值为， 当时，取得最小值，最小值为， ∵在上的最大值为3， ∴当时，函数的最大值不能超过3即可， 当时，为增函数，则当时，函数的最大值为，即，得， 当时，为减函数，则，此时满足条件． 综上实数的取值范围是或， 故选A． 8．若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由 ，可得 在 恒成立， 即为a（1-lnx）≥-x2， 当 时， 2显然成立； 当 时，有 ，可得 设 由 时， ，则在递减，且 ， 可得 ； 当 时，有 ，可得 ， 设 由 时， 在 递减， 由时， 在 递增， 即有 在 处取得极小值，且为最小值 ， 可得 ， 综上可得 ． 故选B． 9．已知定义在上的奇函数满足当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为为奇函数,可得时, 根据已知可得函数和直线的图像如图所示: 共有5个交点,从左至右依次设为, 根据函数的对称性可得.又, .故D正确. 10．已知函数，，，若对于任意，总存在，使成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 解：当时，，，即，为增区间，，， 当时，； 当时，，，此时函数递增，则，． 则的值域为，，． 对于任意，，总存在，，使得成立， 得到函数在，上的值域是在，上值域的子集． 对讨论，当时，，显然不成立； 当时，的值域为，，由且，即； 当时，的值域为，，由且，即， 综上，的取值范围是：，，． 故选：D. 11．设函数，若有最小值，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 因为当时，无最小值，且， 只需当时，有最小值，且即可. 当时，，因为 若时，，在上递增，此时无最小值； 若时，，记两根分别为，，设，因为， 则，又，所以 ， 故在上递减，在上递增， 此时， 将代入得， 解得，所以， 故选：D. 12．已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 解：（1）当时，， 的对称轴为，开口向上． 当时，在递减，递增， 当时，有最小值，即，； 当时，在上递减， 当时，有最小值，即（1）， 显然成立，此时． 综上得，； （2）当时，，， 当时，在上递增， （1），，此时； 当时，在递减，递增， ，， 此时． 综上：， 关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为， 故选：D． 13．已知函数若存在实数，满足，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 的图象如下 存在实数