第20期 直线与方程-【数理报】2021高考数学文科一轮复习知识备查

书书书 ＡＣ＝１０ ３ ｃ，ＢＣ＝１０ ３ ｃ，ＡＢ＝４ｃ， 所以ｃｏｓ∠ＡＣＢ＝ １００ ９ ｃ２×２－１６ｃ２ １０ ３ ｃ·１０ ３ ｃ×２ ＝ ７ ２５ ． ８．由０＜ｂ＜２可知，焦点在ｘ轴上，因为过Ｆ１的直 线ｌ交椭圆于 Ａ，Ｂ两点，则 ｜ＢＦ２｜＋｜ＡＦ２｜＋｜ＢＦ１｜＋ ｜ＡＦ１｜＝２ａ＋２ａ＝４ａ＝８，所以｜ＢＦ２｜＋｜ＡＦ２｜＝８－ ｜ＡＢ｜．当ＡＢ垂直于ｘ轴时｜ＡＢ｜最小，｜ＢＦ２｜＋｜ＡＦ２｜ 的值最大，此时｜ＡＢ｜＝ｂ２，则５＝８－ｂ２，解得ｂ＝槡３． ９．不防设 Ａ（－ａ，０），Ｂ（ａ，０），Ｍ（ｘ，ｙ），Ｎ（ｘ，－ｙ）， －ａ＜ｘ＜ａ，则ｋ１ ＝ ｙ ｘ＋ａ ，ｋ２ ＝ ｙ ａ－ｘ ，又因为椭圆的离 心率为槡 ３ ２ ，所以 ｂ ａ ＝ １－ｅ槡 ２ ＝１ ２ ，所以｜ｋ１｜＋｜ｋ２｜＝ ｜ｙ｜ ｘ＋ａ ＋｜ｙ｜ ａ－ｘ≥ ２ ｙ ２ ａ２－ｘ槡 ２ ＝２ｂ ａ ＝１． １０．由题可知 ＮＦ２垂直于 ｘ轴，则由通径公式可得 (Ｎ ｃ，ｂ ２ )ａ ，且Ｆ１（－ｃ，０），则由中点坐标公式可得 (Ｈ ０， ｂ２ ２ )ａ ，又Ｆ１为线段 ＨＭ的中点，结合中点坐标公式可得 (Ｍ －２ｃ，－ｂ ２ ２ )ａ ．因为点Ｍ在椭圆上，所以４ｃ ２ ａ２ ＋ ｂ ４ ４ａ２ｂ２ ＝ １，由题意可知ｂ２ ＝４，则４ｃ ２ ａ２ ＋１ ａ２ ＝１，所以ａ２ ＝１＋４ｃ２， 结合椭圆的性质可得１＋４ｃ２ ＝４＋ｃ２，所以ｃ２ ＝１，ａ２ ＝ ｂ２＋ｃ２＝５，从而由椭圆的定义可知，△Ｆ２ＭＮ的周长为４ａ ＝ 槡４５． １１．椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右顶点分别 为Ａ１（－ａ，０），Ａ２（ａ，０），设 Ｐ（ｘ０，ｙ０），根据题意，ｋＰＡ１· ｋＰＡ２ ＝ ｙ２０ ｘ２０－ａ ２ ＞－ １ ２ ，而 ｘ２０ ａ２ ＋ ｙ２０ ｂ２ ＝１，所以 ａ２ －ｘ２０ ＝ ａ２ｙ２０ ｂ２ ，于是 ｂ２ ａ２ ＜１ ２ ，即 ａ２－ｃ２ ａ２ ＜１ ２ ，１－ｅ２＜１ ２ ，所以ｅ＞ 槡２ ２ ，又ｅ＜１，故槡２ ２ ＜ｅ＜１． １２．由题知椭圆 Ｃ的右焦点 Ｆ（２，０），设左焦点为 Ｆ′（－２，０），则由椭圆的定义可得２槡ｍ＝｜ＰＦ｜＋｜ＰＦ′｜， 即｜ＰＦ′｜＝２槡ｍ－｜ＰＦ｜，可得 ｜ＰＡ｜－｜ＰＦ′｜＝８－ ２槡ｍ．由｜｜ＰＡ｜－｜ＰＦ′｜｜≤｜ＡＦ′｜＝２，可得 －２≤８－ ２槡ｍ≤２，解得３≤ 槡ｍ≤５，所以９≤ｍ≤２５． ① 又Ａ在椭圆内，所以 ４ ｍ ＋ ４ ｍ－４ ＜１，所以８ｍ－１６＜ ｍ（ｍ－４），解得ｍ＜６－ 槡２５或ｍ＞６＋ 槡２５，与①取交 集得６＋ 槡２５＜ｍ≤２５，所以ｍ的最大值为２５． 二、填空题 １３．３ ４ ；　１４．ｘ ２ ４ ＋ｙ ２ ２ ＝１；　１５．槡２ ４ ；　１６．１ ２ ． 提示： １３．将椭圆ｙ２＋ｍｘ２ ＝１化为标准方程是ｙ２＋ｘ ２ １ ｍ ＝ １，因为０＜ｍ＜１，所以 １ ｍ ＞１，则椭圆的离心率为ｅ＝ ｃ ａ ＝ １ ｍ －槡 １ １ 槡ｍ ＝ １ ２ ，解得ｍ＝ ３ ４ ． １４．由题意可设椭圆Ｃ１： ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ２ ＝１（ａ＞槡２），Ｃ２： ｙ２ ２ ＋ｘ ２ ｂ２ ＝１（０＜ｂ＜槡２），则由两椭圆离心率相等得 ａ２－２ ａ２ ＝２－ｂ ２ ２ ，即有ａｂ＝２，由已知四边形的面积为 槡２２ 得２ ａ２－槡 ２· ２－ｂ槡 ２ ＝ 槡２２，即（ａ ２－２）（２－ｂ２）＝２， 解得ａ＝２，ｂ＝１，所以椭圆Ｃ１的标准方程为 ｘ２ ４ ＋ｙ ２ ２ ＝１． １５．由题可知｜ＰＦ２｜＝｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ｃ，且ＰＦ２⊥Ｆ１Ｆ２， 所以△ＰＦ２Ｆ１为等腰直角三角形．因为｜ＰＡ｜＝｜ＡＦ１｜， 所以点Ａ为线段ＰＦ１的中点，则｜ＡＦ１｜＝｜ＡＦ２｜＝槡２ｃ， 又由椭圆的定义可知｜ＡＦ１｜＋｜ＡＦ２｜＝２ａ，即２ａ＝ 槡２２ｃ， 即ａ＝槡２ｃ，则由ｂ ２ ＝ａ２－ｃ２得ａ＝槡２ｂ，又因为ＰＦ２⊥ Ｆ１Ｆ２，所以 ｜ＢＦ２｜＝ ｂ２ ａ ＝ １ ２ ａ，所以 ｜ＢＦ２｜ ｜ＰＦ２｜ ＝ １ ２ ａ ２ｃ ＝ １ ２ ａ 槡２ａ ＝槡２ ４ ． １６．由题可得 ｅ＝ ｃ ａ ＝槡３ ２ ， ２ａｂ＝１２， ａ２ ＝ｂ２＋ｃ２ { ， 解得ａ＝ 槡２３，ｂ＝槡３， 所以椭圆的方程为 ｘ２ １２ ＋ｙ ２ ３ ＝１．设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 则ｘ１＋ｘ２ ＝－４，ｙ１＋ｙ２ ＝２，又因为 ｘ２１ １２ ＋ ｙ２１ ３ ＝１， ｘ２２ １２ ＋ ｙ２２ ３ ＝１{ ，两式 相减得 １ １２ （ｘ１－ｘ２）（ｘ１＋ｘ２）＋ １ ３ （ｙ１－ｙ２）（ｙ１＋ｙ２）＝ ０，所以 －１ ３ （ｘ１－ｘ２）＋ ２ ３ （ｙ１－ｙ２）＝０，所以直线ｌ的 斜率