专题3.4 立体几何中的向量方法（2）-2020-2021学年高二数学（理）阶段性复习测试卷（人教A版选修2-1）

专题3.4 立体几何中的向量方法（2） （本试卷满分60分，建议用时：40分钟） 一、选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法错误的 是 ( ) A．向量是直线的一个方向向量 B．向量是直线的一个方向向量 C．向量是平面的一个法向量 D．向量是平面的一个法向量 【答案】D 【解析】因为，所以A正确； 因为，所以B正确； 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以C正确； 因为，所以与平面不垂直，向量不是平面的一个法向量，所以D错误． 故选D． 2．已知棱长为的正四面体，为在底面上的射影，以为坐标原点、过且平行于的直线为轴、为轴、为轴建立如图所示的空间直角坐标系，为的中点，则点的坐标是 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，，则．故选A． 3．在长方体中，，异面直线与所成角的余弦值为，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系． 设的长为，易知，，，，则，，因为异面直线与所成角的余弦值为，所以，又，所以．故选B． 4．如图，在四棱锥中，平面，，，，， 是棱上的点，设，且平面，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，，所以，以为坐标原点，分别以向量，，的方向为，，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系． 则，，，，，所以，，设是平面的一个法向量，则所以取，得，由，得，所以，因为平面，所以，得，所以． 故选B． 5．如图，在正方体中，为线段上的一个动点，为线段上的一个动点，则平面与底面所成的锐二面角的余弦值的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，，，则，，，，．设平面的一个法向量为，则即取，则．易知底面的一个法向量为．设平面与底面所成锐二面角为，则 ，当时，，当时，，当时， ；当，时，，故． 故选A． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上) 6．已知点，，，，若，，，四点 共面，则________． 【答案】 【解析】由题意知，存在唯一的实数，，使得，所以 ，所以消去，，得． 7．正三棱柱的所有棱长都相等，则与平面所成角的余弦值为 ________． 【答案】 【解析】设三棱柱的棱长为，以为坐标原点，平面内过且与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图． 则，，，显然是平面的一个法向量．设与平面所成角为，则，所以． 8．如图，已知矩形中，，，平面，若在上只有一个点满足，则实数的值为_____________． 【答案】 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则．设，，则，，由，得 ，即.由题意知关于的方程有两个相同的实数解，所以，解得(舍去)，此时满足题意． 三、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 9．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面平面，是上一点，且． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【解析】（I）证明：因为平面平面，，所以平面． 以点为坐标原点，向量的方向为轴正方向、向量的方向为轴正方向、向量的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示： 由，得，，设，由题意可得，，，，，，从而，，，．设是平面的一个法向量，由得即取，得． 设是平面的一个法向量，由得即取，得．因为，所以平面平面． （II）设与平面所成的角为，由，得 ，解得，从而 ． 10．如图，已知边长为的菱形中，，与相交于，将菱形沿对角线折起，使．在三棱锥中，求解下列问题： （1）若是的中点，求证：直线与平面平行； （2）求二面角的余弦值； （3）在三棱锥中，设点是上的一个动点，