专题3.3 立体几何中的向量方法（1）-2020-2021学年高二数学（理）阶段性复习测试卷（人教A版选修2-1）

专题3.3 立体几何中的向量方法（1） （本试卷满分60分，建议用时：40分钟） 一、选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A，因为，所以，排除A； 对于选项B，因为，所以，故点在平面内； 对于选项C，因为，所以，排除C； 对于选项D， 因为，所以，排除D． 故选B． 2．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到 的距离为 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴点到平面的距离为. 故选A． 3．如图所示，在正方体中，已知， 分别是和的中点，则与所成角的余弦值为 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为，则，，，，，所以，，∴与所成角的余弦值为 ．故选C． 4．在棱长为的正方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角为 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点为坐标原点，分别以向量 ，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，所以， ，设平面的一个法向量为，则，得令，得，因为，所以，所以，所以直线与平面所成角为． 5．如图，在多面体中，底面是边长为的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，为线段的中点，则三棱锥的体积为 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】(1)设，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示空间直角坐标系． 则，，，，，，，因为，所以．设平面的法向量，则取，得，所以点到平面的距离，所以三棱锥的体积 ．故选A． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上) 6．平面的一个法向量为 ，平面的一个法向量为，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 7．已知向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量．若，则与所成角的大小为_______________． 【答案】 【解析】设与所成角为，则，所以. 8．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，，设平面的一个法向量为，则有即令，得，因为，则，故点到平面的距离． 三、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 9．如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，，，分别是线段，，的中点． 求证：(1)平面；(2)平面． 【解析】证明：建立如图所示的空间直角坐标系． 由题中数据，得，，，，，， ，． (1)易得，，所以，所以，因为平面，且平面，所以平面． (2)，，，所以 ，，所以，．又因为，所以平面． 10．在四棱锥中，底面为矩形，底面，，直线与底面成角，点，分别是，的中点． (1)求异面直线与的夹角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值． 【解析】以为坐标原点，分别以向量，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 设，则．∵底面，∴为直线与平面所成的角，∴，∴，∴，，，，，，． (1)，，∴异面直线与的夹角的余弦值为． (2)，，设平面的法向量为，直线与平面所成的角为，则且，取，则，，∴，∴ ． (3)由(2)知平面的法向量为，设平面的法向量为，∵，，，∴ 且，取，则，，则，∴ ，取的中点，则，由，知，二面角的大小为，故二面角的余弦值为． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题3.3 立体几何中的向量方法（1）