专题3.1 空间向量及其运算（1）-2020-2021学年高二数学（理）阶段性复习测试卷（人教A版选修2-1）

专题3.1 空间向量及其运算（1） （本试卷满分60分，建议用时：40分钟） 一、选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图所示，在平行六面体中，为面对角线与的交点． 设，，，则向量可以表示为 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 故选A． 2．设为空间任意一点，已知．若，，，四点共面，则实数 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，，四点共面，所以，解得．故选D． 3．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点，分别是，的中点，则的值为 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图， 设，，，则，且，，两两夹角为， ，，所以 ．故选C． 4．如图，在四面体中，，，，， ，则二面角的大小为 (　　) A． B． C． D． 【答案】C　 【解析】由题知，二面角为锐二面角，其大小等于与所成角的大小．由，得 ，所以，所以与所成角为，即二面角的大小为．故选C． 5．已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，给出下列命题： ①；②，，，四点共面；③；④ ． 则所有正确命题的个数为 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于①，由题意知，，，而对角线与不一定垂直，所以与不一定垂直，故①错误； 对于②，由知，且，所以四边形为平行四边形，所以，，，四点共面，故②正确； 对于③，因为平行四边形不一定是矩形，所以对角线不一定相等，故③错误． 对于④，平行四边形不一定是菱形，所以对角线不一定垂直，故④错误； 故选A． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上) 6．正四面体的棱长为，，分别为，中点，则的长为 . 【答案】 【解析】 ，所以，所以的长为． 7．如图所示，已知空间四边形，其对角线为，，，分别为，的中点，点在线段上，且，若，则 . 【答案】 【解析】连接，设，，，则 ， ．又，所以，，，因此． 8．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为. 则①对角线的长为 ，②与夹角的余弦值为 . 【答案】， 【解析】①设，，，则， ，所以，从而 ，所以，即的长为. ②易得 ，，所以，， ，所以， 所以与夹角的余弦值为. 三、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 9．如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足， ()，求证：直线． 【解析】证明：，，所以 ，由共面向量定理知向量与向量，共面，又，所以平面. 10．如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点，分别是，的中点． (1)求证：，； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】(1)证明：设，，．由题意可知，，且，，三个向量两两夹角均为. ，所以 ，所以，同理，，所以. (2)设向量与的夹角为，因为， ，所以 ，又因为，所以，所以，所以向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线与所成角的余弦值为. ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！