北京市通州区2020-2021学年高三期末摸底考试数学试卷

通州区2020-2021学年第一学期高三年级摸底质量检测 数学试卷参考答案及评分标准 2021年1月 一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C B C C A B B 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 12. 13. 14. ， 是正整数且 ， 15. 三．解答题：本大题共6小题，共85分. 16．（本题13分） 解：（Ⅰ）证明：取 的中点 ，连接 ， . …………………… 1分 因为 是 的中点，所以 ， . 因为 是 的中点，所以 ， . 所以 ， . 所以四边形 是平行四边形. 所以 . …………………… 5分 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . …………………… 6分 （Ⅱ）因为底面 为矩形， 平面 ， 所以 ， ， . …………………… 7分 以点 为坐标原点，分别以直线 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 . …………………… 8分 因为 ， ， 所以 ， ， ， . 所以 ， ， . 设平面 的法向量为 ， 所以 即 令 ，则 . 所以 . …………………… 11分 所以 所以直线 与平面 所成角的正弦值 . …………………… 13分 17．（本题13分） 解（一）：选择条件①： ；条件②： . 因为 ， ， ， 所以 ，即 . 所以 . …………………… 4分 因为 是锐角三角形， 所以 . …………………… 7分 由余弦定理可得 . 所以 . （负值舍去） …………………… 10分 由正弦定理可得 . 所以 . …………………… 13分 所以 ， . 解（二）：选择条件①： ；条件③： ． 因为 ， 所以 . …………………… 4分 由正弦定理可得 . 所以 . …………………… 8分 由余弦定理可得 . 所以 . （负值舍去） …………………… 13分 所以 ， . 解（三）：选择条件②： ；条件③： ． 因为 ， 所以 . …………………… 3分 因为 ， ， 所以 ，即 . 所以 . …………………… 7分 由余弦定理可得 . 所以 . （负值舍去） …………………… 10分 由正弦定理可得 . 所以 .