专题12 导数及其应用-2021届高考数学（理）二轮专题重难点题型突破

12：导数及其应用 一、选择题 1．设p：∀x∈R，x2－4x＋3m>0；q：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，则p是q的(　　) A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　A 【解析】　由q知f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增，则f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x2＋4x＋m≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即Δ1＝16－12m≤0，即m≥eq \f(4,3)；由p得Δ2＝16－12m<0，即m>eq \f(4,3)，故p成立q一定成立，q成立p不一定成立，即p是q的充分不必要条件． 2．已知点A(1，2)在函数f(x)＝ax3的图像上，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是(　　) A．6x－y－4＝0 B．x－4y＋7＝0 C．6x－y－4＝0或x－4y＋7＝0 D．6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0 【答案】　D 【解析】　由于点A(1，2)在函数f(x)＝ax3的图像上，则a＝2，即y＝2x3，所以y′＝6x2.若点A为切点，则切线斜率为6，若点A不是切点，设切点坐标为(m，2m3)，则切线的斜率为k＝6m2.由两点的斜率公式，得eq \f(2m3－2,m－1)＝6m2(m≠1)，即有2m2－m－1＝0.解得m＝1(舍去)或m＝－eq \f(1,2).综上，切线的斜率为k＝6或k＝6×eq \f(1,4)＝eq \f(3,2)，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程为y－2＝6(x－1)或y－2＝eq \f(3,2)(x－1)，即6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0.故选D. 3．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线 y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　) A．－1 B．0 C．2 D．4 【答案】　B 【解析】　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－eq \f(1,3)，即f′(3)＝－eq \f(1,3).又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×(－eq \f(1,3))＝0. 4．设曲线y＝sinx上任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的图像可以为(　　) 【答案】　C 【解析】　∵g(x)＝(sinx)′＝cosx，∴y＝x2g(x)＝x2cosx.根据函数的图像关于y轴对称及过点(0，0)知，应选C. 5．已知实数x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x＋2，,x＋y≤a，,x≥1))其中a＝eq \i\in(0,3,)(x2－1)dx，则实数eq \f(y,x＋1)的最小值为(　　) A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(4,3) 【答案】　D 【解析】　a＝(eq \f(1,3)x3－x)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(3,0))＝6，作出可行域如图阴影部分所示，eq \f(y,x＋1)＝eq \f(y－0,x－（－1）)表示过点P(－1，0)，Q(x，y)的直线的斜率，易知A(2，4)，显然kPQ≥kPA＝eq \f(4－0,2－（－1）)＝eq \f(4,3)，所以eq \f(y,x＋1)的最小值为eq \f(4,3). 6．已知函数g(x)＝aex－x＋2a2－3能够取遍(0，＋∞)内的所有实数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，e] B．(－∞，1] C．[0，e] D．[0，1] 【答案】　B 【解析】　因为g′(x)＝aex－1，当a≤0时，g′(x)＝aex－1<0，g(x)在R上单调递减，分析可知此时g(x)的值域为R，满足题意；当a>0时，由g′(x)＝aex－1＝0，可得x＝－lna，当x<－lna时，g(x)为单调递减函数，当x>－lna时，g(x)为单调递增函数，所以可得g(x)min＝g(－lna)＝lna＋2a2－2，若要使函数g(x)＝aex－x＋2a2－3能够取遍(0，＋∞)内的所有实数，则应满足lna＋2a2－2≤0.设f(a)＝lna＋2a2－2，分析可以得到当a>0时，f(a)为单调递增函数，且f(1)＝0，所以0<a≤1.综上，实数a的取值范围是(－∞，1]，故选B. 7．已知实数a，b满足0≤a≤2，0≤b≤1，则函数y＝eq \f(1,3)x3－x2＋(a＋b)x＋c有极值的概率是(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3