专题11 函数的性质及图象-2021届高考数学（理）二轮专题重难点题型突破

11：函数的性质及图像 一、选择题 1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝x3　　　　　　　　　 B．y＝ln|x| C．y＝sin(eq \f(π,2)－x) D．y＝－x2－1 【答案】　D 【解析】　 选项 正误 原因 A × y＝x3是奇函数 B × y＝ln|x|在(0，＋∞)上单调递增 C × y＝sin(eq \f(π,2)－x)＝cosx在(0，＋∞)上不单调 D √ y＝－x2－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 2.命题p：∃a∈(－∞，－eq \f(1,4))，使得函数f(x)＝|x＋eq \f(a,x＋1)|在[eq \f(1,2)，3]上单调递增；命题q：g(x)＝x＋log2x在区间(eq \f(1,2)，＋∞)上无零点，则下列命题中正确的是(　　) A．綈p B．p∧q C．(綈p)∨q D．p∧(綈q) 【答案】　D 【解析】　设h(x)＝x＋eq \f(a,x＋1)，当a＝－eq \f(1,2)时，函数y＝h(x)为增函数且h(eq \f(1,2))＝eq \f(1,6)>0，则函数y＝f(x)在[eq \f(1,2)，3]上必单调递增，即p是真命题；∵g(eq \f(1,2))＝－eq \f(1,2)<0，g(1)＝1>0，故g(x)在(eq \f(1,2)，＋∞)有零点，即q是假命题，则p∧(綈q)是真命题． 3．已知函数y＝f(x)的大致图像如图所示，则函数y＝f(x)的【解析】式应为(　　) A．f(x)＝exlnx B．f(x)＝e－xln|x| C．f(x)＝e|x|ln|x| D．f(x)＝exln|x| 【答案】　D 【解析】　因为函数定义域是{x|x≠0}，排除A选项，当x→－∞，f(x)→0，排除B，根据函数图像不关于y轴对称可知函数不是偶函数，故可排除选项C，故选D. 4．已知函数f(x)＝(x2＋x)(x2＋ax＋b)，若对∀x∈R，均有f(x)＝f(2－x)，则f(x)的最小值为(　　) A．－eq \f(9,4) B．－eq \f(35,16) C．－2 D．0 【答案】　A 【解析】　由f(x)＝f(2－x)得f(0)＝f(2)，f(－1)＝f(3)，则2a＋b＝－4，3a＋b＝－9，解得a＝－5，b＝6，则f(x)＝(x2＋x)(x2－5x＋6)＝x(x－2)(x＋1)(x－3)＝(x2－2x)(x2－2x－3)，令x2－2x＝t，t∈[－1，＋∞)，则f(x)＝(x2－2x)(x2－2x－3)＝t2－3t＝(t－eq \f(3,2))2－eq \f(9,4)，当t＝eq \f(3,2)时，f(x)取得最小值－eq \f(9,4)，选项A正确． 5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（1－x），0≤x≤1，,x－1，1<x≤2))如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝f{f[f…f(x)]}，那么f2 016(2)的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】　C 【解析】　∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，∴fn(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2 016(2)＝f3×672(2)＝f3(2)＝2，故选C. 6．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3，若实数a，b满足f(a)＝g(b)＝0，则(　　) A．f(b)<0<g(a) B．g(a)<0<f(b) C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0 【答案】　B 【解析】　易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数，由于f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴0<a<1；又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，∴1<b<2，∴f(b)>0，g(a)<0，∴g(a)<0<f(b)，故选B. 7．已知函数f(x)＝sinx－eq \f(1,3)x，x∈[0，π]，cosx0＝eq \f(1,3)(x0∈[0，π])，那么下面结论正确的是(　　) A．f(x)在[0，x0]上是减函数 B．f(x)在[x0，π]上是减函数 C．∃x∈[0，π]，f(x)>f(x0) D．∀x∈[0，π]，f(x)≥f(x0) 【答案】　B 【解析】　由于f′(x)＝cosx－eq \f(1,3)，当x∈[0，π]时，若有cosx0＝eq \f(1,3)，由于y＝cosx在x∈[0，π]上为减函数，故有x∈[0，x0]时，f′(x)>0，当x∈[x0，π]时，f′(x)<0，即函数的最大值为f(x0)，故C，D选项错误，又函数在区间[x0，π]上为减函数，故选B.