专题8 函数的零点问题 - 2021年高考数学二轮经典专题深度解读

专题8 函数的零点问题 解读：分离参数法是处理零点问题的基本方法，其本质是选择一平一曲两个函数；有的是直接考虑函数的图象与轴的交点情况；有的是利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质都是选择一平一曲两个函数． ▲ 函数的凸性 （1）上凸函数 设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，，总有，当且仅当时取等号，则称为上的上凸函数． （2）下凸函数 设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，，总有，当且仅当时取等号，则称为上的下凸函数． （3）下凸函数相关定理 设函数为区间上的可导函数，则为上的下凸函数为上的递增函数且不在的任一子区间上恒为零． （4）上凸函数相关定理 设函数为区间上的可导函数，则为上的上凸函数为上的递减函数且不在的任一子区间上恒为零． 题型一 函数零点个数判断与证明 可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。 1.偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，则关于x的方程f(x)＝lg(x＋1)在x∈[0,9]上解的个数是(　　) A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 【答案】C 【解析】依题意，得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与y＝lg(x＋1)的图象(如图所示)， 观察图象可知，这两个函数的图象在区间[0,9]上的公共点共有9个，因此，当x∈[0,9]时，方程f(x)＝lg(x＋1)的解的个数是9. 2.设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内有________个不同的实数根． 【答案】1 【解析】由f(x)在[－1,1]上是增函数，且f·f<0知， f(x)在上有唯一零点，所以方程f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实数根． 3．已知函数，（且） （1）当，求证：； （2）讨论的零点个数. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析. 【解析】（1）定义域为， 当时，， ， 令，可得， 令，可得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以 （2），可得，即 所以， 令，则， 令得可得， 令得可得， 所以在单调递增，在单调递减， 作出函数的图象如图： 由图可知，当，即时，有 个零点； 当，即时，有个零点； 当时，即时，有个零点； 当时，即时，无零点. 综上所述： 当或，有 个零点； 当时，有个零点； 当时，无零点. 题型二 函数零点问题中参数的范围 已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路： (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题． (3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 4.已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　) A． (1,3) B． (0,3) C． (0,2) D． (0,1) 【答案】D 【解析】画出函数f(x)的图象如图所示， 观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0＜a＜1，故选D. 5.已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为函数有2个零点， 则有2个解， 当时，，， 令得，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，又， 当时，的图象与直线有2个交点， 当时，则与直线无交点， 即在上无解， 即在上无解， 当时，符合题意， 当时，与的负半轴始终交点，不符合题意， 当时，若在上无解， 则，即，所以， 综上知：，即的取值范围是. 故选：C 6.已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞) 【解析】函数g(x)有两个零点，即方程f(x)－b＝0有两个不等实根，则函数y＝f(x)和y＝b的图象有两个交点． ①若a<0，则当x≤a时，f(x)＝x3，函数单调递增；当x>a时，f(x)＝x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)