专题7 导数的几何意义及其应用 - 2021年高考数学二轮经典专题深度解读

专题7 导数的几何意义及其应用 三次函数的图像和性质 设三次函数为（、、、且），其基本性质有： （1） 当a>0时，先看二次函数f′（x）=3ax2+2bx+c，Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac） ①当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）>0，即b2-3ac>0时，f′（x）与x轴有两个交点，，f（x）形成三个单点区间和两个极值点，。 ②当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）=0，即b2-3ac=0时，f′（x）与x轴有两个等根，f（x）没有极值点 ③当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）＜0，即b2-3ac＜0时，f′（x）与x轴没有交点，f（x）没有极值点。 （2） 当a＜0时，先看二次函数f′（x）=3ax2+2bx+c，Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac） ①当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）>0，即b2-3ac>0时，f′（x）与x轴有两个交点，，f（x）形成三个单点区间和两个极值点，。 ②当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）=0，即b2-3ac=0时，f′（x）与x轴有两个等根，f（x）没有极值点。 ③当Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）＜0，即b2-3ac＜0时，f′（x）与x轴没有交点，f（x）没有极值点。 题型一 切线条数问题 1．若过点与曲线相切的直线有两条,则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设切点为（有两个值），则。，，根据导数几何意义可得：，即，整理得：，所以问题转化为方程有两个实根，设，，由于方程存在两个实根，所以应满足，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数在处取得极小值，也为最小值，即，则应有，所以，所以，则。 2．已知函数f（x）＝xlnx， （1）求函数f（x）过（﹣1，﹣2）的切线的方程 （2）过点P（1，t）存在两条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值范围 【答案】（1）y＝x﹣1（2）（﹣∞，0） 【解析】（1）函数f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx， 设切点为（m，n），可得切线的斜率为1+lnm，切线方程为y﹣mlnm＝（1+lnm）（x﹣m）， 代入（﹣1，﹣2），可得﹣2﹣mlnm＝（1+lnm）（﹣1﹣m）， 化为m+lnm＝1，由y＝x+lnx在（0，+∞）递增，且x＝1时，y＝1， 可得m+lnm＝1的解为m＝1， 则所求切线的方程为y＝x﹣1； （2）函数f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx， 设切点为（u，v），则切线的斜率为f′（u）＝1+lnu， 即有切线的方程为y﹣ulnu＝（1+lnu）（x﹣u）， 代入点P（1，t），即有t﹣ulnu＝（1+lnu）（1﹣u）， 即为t﹣1＝lnu﹣u在（0，+∞）有两解， 由g（x）＝lnx﹣x的导数为g′（x）1， 可得x＞1，g（x）递减，0＜x＜1，g（x）递增． 可得x＝1，取得最大值g（1）＝﹣1，即有t﹣1＜﹣1，解得t＜0． 故实数t的取值范围时（﹣∞，0）． 3．已知函数. （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）若对于任意都有成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间（2）先化简不等式，利用变量分离得最小值，再利用基本不等式求最小值，即得实数的取值范围；（3）先设切点，根据导数几何意义建立方程，转化为有三个不同的解，利用导数研究函数图像，根据极值点位置确定实数的取值范围. （Ⅰ）当时，，得． 因为=， 所以当时，，函数单调递增； 当或时，，函数单调递减． 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和 （Ⅱ）由，得． 因为对于任意都有成立， 即对于任意都有成立， 即对于任意都有成立， 设,, 则 等号成立当且仅当即. 所以实数的取值范围为． （Ⅲ）设点是函数图象上的切点， 则过点的切线的斜率为， 所以过点的切线方程为． 因为点在切线上， 即． 若过点可作函数图象的三条不同切线， 则方程有三个不同的实数解． 令，则函数与轴有三个不同的交点． 令，解得或． 因为，， 所以必须，即． 所以实数的取值范围为． 题型二 公切线问题 4．已知f（x）＝lnx，g（x）x2+mx（m＜0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点为（1，f（1）），则m的值为_____． 【答案】 【解析】由题意，， 故直线l的斜率为， 切点为（1，0）；故直线l的方程为y＝x﹣1； 即x﹣y﹣1＝0；由x2+mxy，y＝x﹣1消y得， x2+2（m﹣1）x+