专题6 函数模型及其应用 - 2021年高考数学二轮经典专题深度解读

专题6 函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 1．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，， 根据题意当，时成立， 又， 所以， 即：， 又 所以， 所以， 故选：B. 2．若一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到之后停止喝酒，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某地规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么这个人至少经过多少小时才能开车（精确到1小时）（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】 设小时后才能开车, 则有, 即, 由于没有对数参考值， 根据选项代入验证，当时不等式不成立，当时，不等式成立， 故最小为5. 故选：C 3．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数分别相交于点，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则（ ） A．是偶函数 B． C．随的增大而减小 D．的面积随的增大而减小 【答案】D 【解析】 对于选项A：定义域为， ，而，所以是奇函数，所以A错误； 对于选项B： ，所以B错误； 对于选项C、D：设，，， 则曲线在点处的切线方程为：， 曲线在点处的切线方程为：， 联立求得点的坐标为，则， ，所以随的增大而先减小后增大，的面积随的增大而减小，所以C错误，D正确. 故选：D 4．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】BC 【解析】 根据题意知，. ∵， ， ， ∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误； ， ∴是奇函数，B正确； 在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确； ，，， ，，D错误. 故选：BC. 5．（多选）假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以表示，被捕食者的数量以表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不正确的是（ ） A．若在、时刻满足：，则 B．如果数量是先上升后下降的，那么的数量一定也是先上升后下降 C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值 D．被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值 【答案】ABD 【解析】 由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确； 在曲线上半段中观察到是先上升后下降，而是不断变小的，故B不正确； 捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处， 同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候， 所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端，，， 此时二者总和，由图象可知存在点，， ，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时， 被捕食者数量也会达到最大值，故D错误， 故选：