专题5 导数与函数的单调性、极值和最值 - 2021年高考数学二轮经典专题深度解读

专题5 导数与函数的单调性、极值和最值 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f (x)在(a，b)内单调递增 f′(x)<0 f (x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f (x)在(a，b)内是常数函数 2．函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值． 题型一 不含参函数的单调性 1．函数的单调递增区间是_______． 【答案】 【解析】函数的定义域为，且，令，得. 因此，函数的单调递增区间为，故答案为. 2．若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，令，得，即函数的单调递增区间为，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得；故填. 【方法指导】确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x)的定义域． (2)求f′(x)． (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 题型二 含参数的函数的单调性 3．若函数在上递增，则的取值范围___________. 【答案】. 【解析】由函数， 所以， 因为函数在上递增， 所以在上恒成立， 令， 所以在恒成立， 令， 所以， 解得， 故答案为： 4．若函数在区间上是减函数，则的最大值为_______________ 【答案】 【解析】因为函数在区间上是减函数， 所以在区间上恒成立， 所以，即，即， 令，，则，， 所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 【方法指导】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 题型三 函数单调性的应用 命题点1　比较大小或解不等式 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，令，解得， 则当时，，单调递减， ，， 且，， . 故选：D. 6．已知、满足，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【解析】令，其中，则，当时，. 所以，函数在区间上单调递增， ，，即，即，即，可得， 所以，. 故选：C. 命题点2　根据函数单调性求参数 7．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，解得，则， 则当时，，即恒成立， 令，则， 当时，，时，， 所以在上是减函数，在是增函数，， 又因为当时，取得最大值1， 所以当时，取得最大值， 所以. 故选：B. 8．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，由题意可知在恒成立， 即恒成立， 设， 时，，为减函数； 时，，为增函数； 的最小值为，所以， 故选：A. 【方法指导】根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)f (x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题． 题型四 用导数求解函数极值问题 命题点1　根据函数图象判断极值 9．函数的导函数的图像如图所示，给出下列判断： ①函数在区间内单调递增； ②函数在区间内单调递减； ③函数在区间内单调递增； ④当时，函数有极大值； ⑤当时，函数有极大值； 则上述判断中正确的是________． 【答案】③⑤ 【解析】对于①，当时，单调递减， 当时，单调递增，所以①错； 对于②，当时，单调递增， 当时，单调递减，所以②错； 对于③，当时，单调递增，所以③对； 对于④，当时，单调递增，故当时不是极大值，所以④错； 对于⑤，当时，单调递增， 当时，单调