第6讲分式方程（讲义）-【教育机构专用】2020-2021学年八年级数学寒假辅导讲义（沪教版）

第6讲 分式方程 模块一：分式方程及其解法 知识精讲 1、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2、解分式方程的方法 通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解． 3、增根的概念 分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根． 4、解分式方程的一般步骤 （1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程，求出整式方程的根； （3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解． 5、 分式方程组的概念 由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组． 6、 解分式方程组的方法 找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验． 例题解析 例1．（1）下列方程中，是分式方程的为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】A. 是整式方程，故选项错误； B. 是整式方程，故选项错误； C. 分母中含有未知数x，所以是分式方程，故选项正确； D. 是整式方程，故选项错误.故选C. 【点睛】此题考查分式方程的判定，掌握分式方程的定义是解题的关键. （2）在；；；；中，分式方程有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【难度】★ 【答案】B 【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）（2）两个方程分 母中不含未知数，（5）不是方程，（3）（4）满足定义，故选B． 【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母． 例2．（1）用换元法解分式方程+1=0，如果设=y，那么原方程可以化为（ ） A．-5=0 B．-5y+1=0 C． D． 【答案】D 【分析】直接把换成y，整理即可． 【详解】解：设，则原方程化为， 去分母得，， 故选：D． 【点睛】本题考查的是换元法解分式方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （2）.用换元法解方程，设，则方程变为( ) A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】D 【解析】，则有，原方程即为， 展开整理即为，故选D． 【总结】考查分式方程中换元法的应用，注意含有未知数部分的恒等变形转化． 例3.分式方程的最简公分母是____________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】分式方程中三个分母位置上分别为，，，分解因式的结果分别为，，，由此可得方程的最简公分母为． 【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母． 例4.直接写出下列分式方程的根： （1）：_________________； （2）：_________________； （3）：_________________； （4）：_________________． 【难度】★ 【答案】（1）；（2）无解；（3）无解；（4） ． 【解析】（1）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得， 检验得是原分式方程的根； （2） 根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得，检验得为方程的增根， 即方程无解； （3） 约分得，解得，检验得为方程的增根，即方程无解； （4） 约分得，解得，检验得是原分式方程的根． 【总结】考查根据等式的性质求解简单的分式方程，注意求解结果是否是增根． 例5.解方程： （1）； （2）； （3）． 【难度】★★ 【答案】（1），；（2），；（3） 无解． 【解析】（1）方程两边同乘，得，整理得 ，解得，，经检验，，都是原方程的根； （2）方程两边同乘，得，整理得，解得：，，经检验，，都是原方程的根； （3）方程两边同乘，得，整理得，解得：，，经检验，，都是原方程的增根，即原方程无解． 例6.解方程： （1）； （2）； （3）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）方程两边同乘，得，整理得， 解得：，，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为； （2）方程两边同乘，得，整理得，解得：，，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为； （3）两边