第5讲 整式方程(讲义）-【教育机构专用】2020-2021学年八年级数学寒假辅导讲义（沪教版）

第5讲 整式方程 模块一：含有字母的一元一次方程 知识精讲 1、一元整式方程的概念 方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式． 2、 解一元一次方程的方法 方程中未知数系数都是数字，将未知数字母系数化成1； 方程中含有字母参数时，确定未知数最高次数是否为零，从而进行分类讨论，方法如下： 一元一次方程 当时，方程有唯一解； 当时，方程无解； 当时，方程有无数解． 例题解析 例1.判断下列关于的方程，哪些是一元整式方程． 1 ； ②； ③； ④； 5 ；⑥．（、为常数） 【难度】★ 【答案】①⑤⑥． 【解析】根据一元整式方程的定义，只含有一个未知数，且方程两边都是关于未知数的整式， 可知①⑤⑥为一元整式方程，②为无理方程，错误；③为分式方程，错误；④含有两个 未知数，是二元方程，错误；综上所述，①⑤⑥为一元整式方程． 【总结】考查一元整式方程的概念． 例2.如果关于的方程只有一个根x = 0，则_________；b=________． 【难度】★ 【答案】，． 【解析】方程仅有一根为，则有且，得：，． 【总结】考查方程仅有一根的情况，必有． 例3.已知关于的方程的解是负数，求k的取值范围． 【难度】★ 【答案】． 【解析】解方程得：，方程解为负数，即，得：． 【总结】考查方程解得意义，先解方程，再根据题目要求求解． 例4.如果关于的方程无解，那么=_________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】整理方程得，方程无解，则有且，得． 【总结】考查方程无解的情况，则有，． 例5.解关于的方程： （1）； （2）； （3）． 【难度】★★ 【解析】（1）整理方程得，由此进行分类讨论： 当，即时，方程无解；当，即时，方程解为； （2）整理方程得，由，得，则方程解为； （3）整理方程得，由此进行分类讨论： 当且，即且时，方程无解； 当且，即且时，方程有无数解； 当，即时，方程解为． 【总结】考查解含有字母系数的一元一次方程，注意分类讨论． 例6.关于的方程，分别求为何值时，原方程： （1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解． 【难度】★★ 【答案】（1），n为任意数；（2）且；（3）且． 【解析】方程整理成一般形式即为，由此进行分类讨论： （1） 当，即时，方程有唯一解； （2） 当且，即且时，方程有无数解； （3） 当且，即且时，方程无解． 【总结】考查含有字母系数的一元一次方程，注意分类讨论． 例7.已知无论k取何值，x=2总是关于x的方程的解，求a、b的值． 【难度】★★★ 【答案】， 【解析】总是方程的解，即满足方程，代入可得，化作关于的方 程可整理得，无论取何值，式子都成立，可视作这个关于的方程有无数解，由此可得且，得，． 【总结】考查恒成立问题，可视作相应方程有无数解． 例8.解关于的方程：． 【难度】★★★ 【解析】整理方程得，由题意可得，由此进行分类讨论： 当时，必有，即时，方程无解； 当，即且时，方程解为． 【总结】考查含有字母系数的一元一次方程，注意分类讨论． 例9.当a，b满足什么条件时，关于x、y的方程组，有唯一解?无数解? 【难度】★★★ 【答案】当时方程组有唯一解，且时方程组有无数解． 【解析】①②，得，由此进行分类讨论： 当，即时，有唯一解，则方程组有唯一解； 当且，即且时，有无数解，即方程组有无数解． 【总结】考查含有字母系数的二元一次方程组，化作一元一次方程进行分类讨论． 模块二 含有字母系数的一元二次方程 知识精讲 1、含有字母系数的一元二次方程的解法 方程中未知数系数都是数字，用开平方法、配方法、因式分解法、公式法解方程； 方程中含有字母参数时，确定未知数最高次数是否为零，从而进行分类讨论． 例题解析 例1.已知（是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）． A． B． C．且 D．一切实数 【难度】★ 【答案】C 【解析】方程是一元二次方程，则必有，得且， 故选C． 【总结】考查一元二次方程的定义，二次项系数不能为0． 例2.若关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【难度】★ 【答案】且． 【解析】方程有两个实数根，方程为一元二次方程，则有二次项系数，且有方程根的 判别式，即得且． 【总结】考查一元二次方程根的判别式，注意二次项系数不能为0的前提条件． 例3.已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值并解这个方程． 【难度】★ 【答案】，方程解为． 【解析】方程有两个相等的实数根，方程为一元二次方程，则有二次项系数，且有方 程根的判别式，即得，此时方程即为 ，整理得：，解得：． 【总结】考查一元二次方程根的判别式的运用，注意二次项系数不能为0的前提条件． 例4.若关于的方程有