靶心17 立体中双生花—体积和表面积-2021高考数学【创新教程】大二轮高考总复习考向卷（新高考）

设四面体的外接球 球 心 为 O,连 接 OE,OD,OB,易 知 O 在平面SBD 内,且 OE⊥SD,OD⊥BD, ∵二面角S－AC－B 的余弦值是－ ３３ , ∴cos∠SDB＝－ ３３ , ∵∠EDO＝∠SDB－ π２ , ∴cos∠EDO＝ ６３ ,∴OD＝ ２２ , ∴BO＝ ６２ , ∴该四面体的外接球半径为 ６２ , ∴该四面体的外接球的表面积为４π× ６４ ＝６π． 靶心１７ １．D　[当 底 面 周 长 为 ４π时,底 面 圆 的 半 径 为 ２,两 个 底 面 的面积之和是８π;当底面周长为８π时,底 面 圆 的 半 径 为 ４,两个底面的面积之和为３２π．无 论 哪 种 方 式,侧 面 积 都 是矩 形 的 面 积 ３２π２．故 所 求 的 表 面 积 是 ３２π２ ＋８π 或 ３２π２＋３２π．] ２．B　[因为圆柱的轴截面是正方形,设 底 面 半 径 为r,则 母 线长为２r,所以圆 柱 的 表 面 积 为 ２πr２ ＋２πr􀅰２r＝１２π, 解得r＝ ２,所以 O１O２＝２r＝２ ２,故选 B．] ３．A　[因为 E,F,G,H 分 别 为 各 个 面 的 中 心,显 然 E,F, G,H 四点共面,截面如图所示． 显然四边形 EFGH 为正方形,且边长为 ２２ , 所以S正 方 形EFGH ＝ ２ ２ × ２ ２ ＝ １ ２ ． 另外易知 点 M 到 平 面 EFGH 的 距 离 为 正 方 体 棱 长 的 一半, 即四棱锥 M－EFGH 的高为 １２ , 所以四棱锥 M－EFGH 的 体 积V＝ １３ × １ ２ × １ ２ ＝ １ １２． 故选 A． 点睛:本题考 查 正 方 体 的 性 质 和 正 四 棱 锥 的 体 积,主 要 考查学生的空间想象能力和计算求解能力,属中档题．] ４．A　[如图所示:F,G,H 是对应线段的中点． 易知:RF 与 HQ 相交,确定一个平面α HQ∥RG,故 G 在平面α 内,同理 P 在平面α 内 故平 面 α 被 此 正 方 体 所 截 得 截 面 图 形 为 正 六 边 形 HPFQGR,边长为 ２ S＝ １２ × ２× ２sin ２π ３ ×６＝３ ３ ,故选 A． 点睛:本题考 查 了 截 面 图 形 的 面 积,确 定 截 面 为 正 六 边 形是解题的关键．] ５．A　[当平面ABP 与平面ABC 垂直时,四面体ABCP 的 体积最大． 由 AC＝BC＝ ２,AB＝２,得∠ACB＝９０°． 设点 Р 到平面ABC 的距离为h,则 １３ × １ ２ × ２× ２×h ＝ ２３ ,解得h＝２． 设四面体 ABCP 外接球的半 径 为R,则 R２＝(２－R)２＋ １２,解得 R＝ ５４ ． 所以球 O 的表面积为４π× ５４( ) ２ ＝２５４π． 故选 A． 点睛:本题主 要 考 查 球 的 内 接 几 何 体,考 查 几 何 体 的 体 积的计算和球的表面积 的 计 算,意 在 考 查 学 生 对 这 些 知 识的理解掌握水平和计算能力．] ６．C　[根 据 题 意,作 出 相 对 应 简 图,分 别 取 点 C１ 的 三 个 面 对角线的中点,则此三 点 为 棱 柱 的 另 一 个 底 面 的 三 个 顶 点,利用中位 线 定 理 来 进 行 证 明,再 通 过 线 段 几 何 关 系 进行求解即可 如图,连 接 A１C１,C１D,AC１,BC１,分 别 取 A１C１、BC１、 C１D 中点 M 、N、Q,连接 MQ,MN,NQ,FQ,EN,GM 由中位线定理可得 GM∥AC１,GM＝ １ ２AC１ ,FQ∥AC１, FQ＝ １２AC１ ,EN∥AC１,EN＝ １ ２AC１ 又 AC１⊥平面 EFG,∴三棱柱 EFG—NQM 是正三棱柱 S△EFG ＝ ３ ４ ×２＝ ３ ２ ,h＝GM ＝ １２AC１ ＝ ３ ,∴ 三 棱 柱 VEFG —NQM ＝ ３ ２ ,故选 C． 点睛:本题考 查 几 何 体 中 的 构 图 法、直 三 棱 柱 体 积 的 求 法,整体难度 较 大,通 过 中 位 线 定 理 证 明 侧 棱 垂 直 于 底 面是关键] ７．AB　[由线面垂 直 推 出 异 面 直 线 垂 直 可 判 断 A;由 点 到 平面的距离可判断 B;运用三棱锥 的 体 积 公 式 可 判 断 C; 根据异面直线所成角的定义判断 D． 如图: 对 于 A,根 据 题 意,AC ⊥ BD,AC ⊥ DD１,AC ⊥ 平 面 BDD１B１, 所以 AC⊥BE,故 A 正确; 对于 B,A 到 平 面CDD１C１ 的 距 离 是 定 值,所 以 点 A 到 △BEF 的距离为定值,故 B正确; 对于 C,三棱锥 A－BEF 的体积为V三 棱