靶心16 八面玲珑—几何体与球的切接问题-2021高考数学【创新教程】大二轮高考总复习考向卷（新高考）

由k２＞０可得F２P →􀅰F２Q → ∈ －１,７２( ) ． 综上所述,F２P →􀅰F２Q → ∈ －１,７２( ] , 所以F２P →􀅰F２Q → 的最大值是 ７ ２ ． 靶心１６ １．B　[根据长方体与球的对 称 性 易 知:长 方 体 的 体 对 角 线 即为球的直 径,则 由 长 方 体 的 长、宽、高 可 求 球 的 半 径． 于是,作出图形 的 轴 截 面 如 图 所 示,点 O 即 为 该 球 的 球 心,线 段 AB 即 为 长 方 体 底 面 的 对 角 线,长 度 为 a２＋(２a)２＝ ５a,线段 BC 即 为 长 方 体 的 高,长 度 为 a,线段AC 即为长方体的体对角线,长度为 a２＋(５a)２ ＝ ６a,则球 的 半 径 R＝AC２ ＝ ６ ２a ,所 以 球 的 表 面 积 S＝ ４πR２＝６πa２．故选 B．] ２．A　[根据球的表面积可求出其半 径,再 由 多 面 体 与 正 方 体 的 位 置 关 系 可 知 正 方 体 的 棱 长 为 其 外 接 圆 半 径 的 ２ 倍,即可得出答案. 设球 O 的半径为R,有 ４πR２＝２０π,可 得 R＝ ５,由 正 方 体的中心到多面体的各个顶 点 的 距 离 都 相 等,得 球 O 为 该正方体的内切 球,所 以 正 方 体 的 棱 长 为 ２R＝２ ５．故 选 A． 点睛:本题考查根据正 方 体 内 切 球 表 面 积 求 正 方 体 的 棱 长,读懂题意,理解其位置关系是解本题的关键,属于基 础题.] ３．C　[平面 ACD１ 截球 O 的截面为△ACD１ 的内切圆． 因为正方体的棱长为１,所以 AC＝CD１＝AD１＝ ２, 所以内切圆的半径r＝ ６６ ,所以S＝πr２＝π× ６３６＝ １ ６π． ] ４．B　 [由 题 意 得 三 棱 锥 P －ABC 的 外 接 球 球 心 在 过 △ABC 中心O１ 且 垂 直 平 面 ABC 的 直 线 上,设 为 点 O, 球半径设为R,则OO１＝ PA ２ ＝１ ,AO１＝ ３,∴R＝ １＋３ ＝２,从而外接球的表面积为４πR２＝１６π,故选 B． 点睛:本题考 查 锥 体 外 接 球 及 其 表 面 积,考 查 空 间 想 象 能力以及基本分析求解能力,属中档题．] ５．C　[如图所示,当 点 C 位 于 垂 直 于 平 面AOB 的 直 径 端 点时,三棱锥 O－ABC 的体积最大,设 球 O 的 半 径 为R, 此时VO －ABC ＝VC －AOB ＝ １ ３ × １ ２R ２ ×R＝ １６R ３ ＝３６,故 R＝６,则球 O 的表面积为S＝４πR２＝１４４π,故选 C．] ６．D　[易知当平面 ACD 与平面ABC 垂直时体积最大． 如图所示: E 为AC 中点,连接 DE,BE,外 接 球 球 心 O 的 投 影 为G 是△ABC 中心,在 BE 上 BE＝ ３,DE＝ ３,EG＝ ３３ ,BG＝２ ３３ 设半径为 R,则 R２ ＝ (３－OG)２ ＋ (３３ )２,R２ ＝OG２ ＋ (２ ３ ３ )２ 解得 R＝ １５３ ,表面积S＝４πR２＝２０π３ ,故选 D． 点睛:本题考 查 了 三 棱 锥 的 外 接 球 问 题,利 用 勾 股 定 理 求出半径是解题的关键．] ７．AD　[连结 AC,BD,交于点 O,连结 PO,取 AD 中 点E, 连结 OE、PE,如下图所示: 对 于 A,因 为 BC∥AD,所 以 直 线 PA 与 BC 所 成 角 为∠PAD, 因为CD∥AB,所以 PA 与CD 所成的角为∠PAB, ∵PA＝PB＝PD,AB＝AD,∴∠PAD＝∠PAB, ∴直线 PA 与BC、PA 与CD 所成的角相等,故 A 正确; 对于 B,∵PO⊥平面 ABCD,∴∠PAO 是 侧 棱 与 底 面 所 成角, ∵在正四棱锥 P－ABCD 中,底 面 边 长 为２,侧 面 与 底 面 所成二面角的大小为６０°, ∴AO＝ １２AC＝ １ ２ ２ ２＋２２＝ ２,∠PEO＝６０°,OE＝１, PE＝２,PO＝ ２２－１２＝ ３, ∴侧棱与底面所 成 角 的 正 切 值 为tan∠PAO＝ ３ ２ ＝ ６２ , 故 B错误; 对于 C,该 四 棱 锥 的 体 积 为 V＝ １３ ×S正 方 形ABCD ×PO＝ １ ３ ×２×２× ３＝ ４ ３ ３ ,故 C 错误; 对于 D,由题意可 知 正 四 棱 锥 P－ABCD 中 外 接 球 的 球 心在PO 上, 设外接球的球心为 M,连接 MC, 设该四棱锥的外接球半径为 R, 在 Rt△MOC 中,MC＝R,OM＝ ３－R,OC＝ ２, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋