靶心13 以不变应万变—圆锥曲线的定义-2021高考数学【创新教程】大二轮高考总复习考向卷（新高考）

点睛:几何图形中的向 量 问 题,一 定 要 先 分 析 图 形 找 到 其中的数量关系;其次 就 是 对 待 求 式 子 的 分 析,将 其 变 为可以用已知量直接 进 行 计 算 的 形 式．解 决 这 类 问 题, 这里还有另一种常用 的 方 法:坐 标 法,以 坐 标 的 方 式 去 考虑各个量之间关系． １１．解:(１)∵(２a－３b)􀅰(２a＋b)＝６１, ∴４|a|２－４a􀅰b－３|b|２＝６１． 又|a|＝４,|b|＝３,∴６４－４a􀅰b－２７＝６１,∴a􀅰b＝ －６． ∴cosθ＝ a 􀅰b |a||b|＝ －６ ４×３＝－ １ ２ ． 又０≤θ≤π,∴θ＝２π３ ． (２)可先平方转化为向量的数量积． |a＋b|２＝(a＋b)２＝|a|２＋２a􀅰b＋|b|２ ＝４２＋２×(－６)＋３２＝１３．∴|a＋b|＝ １３． (３)∵AB→与BC→的夹角θ＝２π３ ,∴∠ABC＝π－２π３ ＝ π ３ ． 又|AB→|＝|a|＝４,|BC→|＝|b|＝３, ∴S△ABC ＝ １ ２|AB →||BC→|sin∠ABC＝ １２ ×４×３× ３ ２ ＝ ３ ３． １２．解:(１)∵p∥q,∴－sinA＝ ３cosA, ∴tanA＝－ ３,∵０＜A＜π,∴A＝２π３ , 在△ABC 中,由余弦定理得a２＝b２＋c２－２bccosA＝９, ∴a＝３, 在△ABC 中,BD＝ ２３BC＝２ ,∵b＝c,A＝２π３ , ∴B＝ π６ , 在△ABD 中,由 余 弦 定 理 得 AD２ ＝AB２ ＋BD２ －２AB 􀅰BD􀅰cosB＝１,∴AD＝１． (２)在△ABD 中,AB＝ ３,AD＝１,BD＝２, ∴AB２＋AD２＝BD２,∴∠BAD＝ π２ ,∴m􀅰n＝０, ∵向量 m＋(t２＋３)n 与向量－km＋３tn 垂直, ∴[m＋(t２＋３)n]􀅰(－km＋３tn)＝０,∴－３k＋３t(t２＋ ３)＝０,∴k＝t(t２＋３), ∴k＋t ２ t２ ＝t (t２＋３)＋t２ t２ ＝t＋ ３t ＋１≥２ ３＋１ , 当且仅当t＝ ３t ,即t＝ ３时取“＝”, ∴k＋t ２ t２ 的最小值为２ ３＋１． 靶心１３ １．C　[设椭圆的右焦点为 F１,连接 AF１,BF１, 因为 OA＝OB,OF＝OF１, 所以四边形 AFBF１ 是平行四边形． 所以|BF|＝|AF１|, 所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF１|＝２a＝４,故选 C．] ２．D　[由双曲线的标准方程可得a＝１,则||PF１|－|PF２| |＝２a＝２,即|６－|PF２||＝２,解得|PF２|＝４或８．] ３．C　[如图所示,设抛物线的准线为l,AB 的中点为 M ,作 AA１⊥l于点A１,BB１ ⊥l于 点B１,MM１ ⊥l于 点 M１,由 抛物线的定义知p＝ １ ２ ,|AA１|＋|BB１|＝|AF|＋|BF| ＝３,则点 M 到y 轴的 距 离 为|MM１|－ p ２ ＝ １ ２ (|AA１| ＋|BB１|)－ １ ４ ＝ ５ ４ ． 故选 C．] ４．D　[连 接 BF１,BF２,根 据 椭 圆 的 对 称 性 可 知 AF１BF２ 是矩形,所以２c＝ F１F２ ＝ AB ＝４,即c＝２．根 据 椭 圆的定义和三角形面积公式得 AF１ ＋ AF２ ＝２a １ ２ AF１ 􀅰 AF２ ＝２ |AF１| ２＋|AF２| ２＝４c２ ì î í ïï ïï ,解 得a２ ＝６,所 以b２ ＝a２ －c２ ＝２,所以a２＋b２＝６＋２＝８．故选 D． 点睛:本小题 主 要 考 查 直 线 和 椭 圆 的 位 置 关 系,考 查 椭 圆的定义,考查勾股定 理,考 查 方 程 的 思 想,考 查 椭 圆 的 几何性质,属于基础题．] ５．A　[设 AB ＝３,BF１ ＝４,AF１ ＝５,AF２ ＝x, 利用双曲线的定义 求 出 x＝３ 和a 的 值,再 利 用 勾 股 定 理求,由y＝± b ax 得到双曲线的渐近线方程． 设 AB ＝３,BF１ ＝４,AF１ ＝５,AF２ ＝x, 由双曲线的定义得３＋x－４＝５－x,解得x＝３, 所以|F１F２|＝ ４ ２＋６２＝４ １３⇒c＝ １３, 因为２a＝５－x＝２⇒a＝１,所以b＝２ ３, 所以双曲线的渐近线方程为y＝±２ ３x．故选 A． 点睛:本题考查双曲线 的 定 义、渐 近 线 方 程,解 题 时 要 注 意如果题干 出 现 焦 半 径,一 般 会 用 到 双 曲 线 的 定 义,考 查运算求解能力．] ６．B　[抛物线C∶y２＝２x 的焦点为F( １ ２ ,０),准线为l∶x ＝－ １２ ,设 M(x１,y１),N(x２,y２),M,N 到 准 线 的 距 离 分别为dM ,dN ,