靶心8 三剑客联手—基本不等式-2021高考数学【创新教程】大二轮高考总复习考向卷（新高考）

所以an＝a１＋(n－１)d＝２n－１(n∈N ∗ )． Tn＝２－ １ ２( ) n－１ ,令n＝１,得b１＝１, 当n≥２时,bn＝Tn－Tn－１＝ １ ２( ) n－１ , 因为b１＝１也满足上式,所以bn＝ １ ２( ) n－１ (n∈N∗ )． (２)由(１)得, an bn ＝ ２n－１ １ ２( ) n－１＝(２n－１)􀅰２ n－１, 则 Hn＝１×２ ０＋３×２１＋５×２２＋􀆺＋(２n－３)×２n－２＋ (２n－１)×２n－１　③, ２Hn＝１×２ １ ＋３×２２ ＋５×２３ ＋ 􀆺 ＋(２n－３)×２n－１ ＋ (２n－１)×２n　④． ③－④,得－Hn＝１×２ ０＋２×２１＋２×２２＋􀆺＋２×２n－１ －(２n－１)×２n ＝１＋２×２ (１－２n－１) １－２ － (２n－１)×２n ＝ －(２n－３)×２n－３, 所以 Hn＝(２n－３)􀅰２ n＋３． 若条件③, (１)设数列{an}的公差为d, 由a２n＋a ２ n－１＝２(anan－１ ＋an －an－１),可 得 a ２ n ＋a ２ n－１ － ２anan－１＝２(an－an－１),即(an－an－１) ２＝２(an－an－１), 得d２＝２d,解得d＝２或d＝０(舍去)． 所以an＝２n－１(n∈N ∗ ) 设数列{bn}的 公 比 为q,易 知a３＝５,由a３b４＝ ５ ８ ,得b４ ＝ １８ ,即b１q ３＝ １８ , 又a１＝b１＝１,所以q＝ １ ２ , 所以bn＝ １ ２( ) n－１ (n∈N∗ )． (２)由(１)得, an bn ＝ ２n－１ １ ２( ) n－１＝(２n－１)􀅰２ n－１, 则 Hn＝１×２ ０＋３×２１＋５×２２＋􀆺＋(２n－３)×２n－２＋ (２n－１)×２n－１　③, ２Hn＝１×２ １ ＋３×２２ ＋５×２３ ＋ 􀆺 ＋(２n－３)×２n－１ ＋ (２n－１)×２n　④ ③－④,得－Hn＝１×２ ０＋２×２１＋２×２２＋􀆺＋２×２n－１ －(２n－１)×２n ＝１＋２×２ (１－２n－１) １－２ － (２n－１)×２n ＝ －(２n－３)×２n－３, 所以 Hn＝(２n－３)􀅰２ n＋３． １２．解析:(１)根据递推关系得 到a２n＝２n－１,再 利 用 定 义 证 明数列 a２n{ } 为等差数列;(２)由(１)得bn＝(２n－１)􀅰３ n ＋２n－１,再 利 用 错 位 相 减 求 和、等 差 数 列 前n 项 和 公 式,求得数列 bn{ } 的前n 项和Tn． 解:(１)当 n≥２ 时,a４１ ＋a ４ ２ ＋ 􀆺 ＋a ４ n－１ ＝ １ ３ (n－ １)４(n－１)２－１[ ] , 则a４n＝ １ ３n ４n ２－１( ) － １３ (n－１)４(n－１)２－１[ ] ＝ １３ ４n ３－４(n－１)３－１[ ] ＝(２n－１)２．∵a２n≥０, ∴a２n＝２n－１． 又∵a４１＝１,a ２ １≥０,∴a ２ １＝１,也满足a ２ n＝２n－１, ∴a２n＝２n－１,∵a ２ n＋１－a ２ n＝２, ∴数列 a２n{ } 为公差是２的等差数列． (２)bn＝(２n－１)􀅰３ n＋２n－１, 设数列 (２n－１)􀅰３n{ } 的前n 项和为Sn, 则Sn＝１×３＋３×３ ２＋􀆺＋(２n－１)􀅰３n, ∴３Sn＝１×３ ２＋３×３３＋􀆺＋(２n－１)􀅰３n＋１, ∴Sn－３Sn ＝３＋２× ３ ２＋３３＋􀆺＋３n( ) － (２n－１)􀅰 ３n＋１,即－２Sn ＝３＋２× ３２－３n×３ １－３ － (２n－１)􀅰３n＋１ ＝ ３n＋１－６＋(１－２n)􀅰３n＋１＝(２－２n)􀅰３n＋１－６,故 Sn＝ (n－１)􀅰３n＋１＋３, ∴Tn＝Sn＋n ２＝(n－１)􀅰３n＋１＋n２＋３． 点睛:本题考 查 数 列 递 推 关 系、等 差 数 列 的 定 义、等 差 数列前n 项和、错位相减法求和,考查转化与化归思想、 方程思想的运用,考查运算求解能力． 靶心８ １．A　[因为正实数x,y 满足x＋y＝２, 所以xy≤ (x＋y)２ ４ ＝ ２２ ４ ＝１ ,所以 １ xy ≥１．] ２．D　[因 为 １＝２x ＋２y ≥２ ２x􀅰２y ＝２ ２x＋y ,(当 且 仅 当２x＝２y＝ １２ ,即x＝y＝－１时等号成立),所 以 ２x＋y ≤ １２ ,所以２x＋y≤ １４ ,得x＋y≤－２．] ３．C　[因为 １a ＋ ２ b ＝ ab ,所以a＞０,b＞０, 由 ab＝ １a ＋ ２ b ≥２ １ a × ２ b ＝２ ２ ab , 所以ab≥２ ２(当且仅当b＝２a 时取等号), 所以ab的最小值为２ ２．] ４．C　[因为lg２x＋l