靶心4 山重水复 柳暗花明—构造新函数-2021高考数学【创新教程】大二轮高考总复习考向卷（新高考）

设切点坐标(x０,y０),则 x０＝２ln x０＋m( ) ２ x０＋m ＝１{ ,解 得:x０＝ ２ln２,m＝２－２ln２． 点睛:此题考 查 利 用 导 函 数 解 决 直 线 与 曲 线 相 切 求 参 数值的问题,需注意切 点 处 的 两 个 等 量 关 系,一 是 函 数 值,二是导数值,考查基础知识的掌握． 答案:２－２ln２ １１．解:(１)由已知,得f(x)＝x(x－１)(x＋１)＝x３－x, 故f′(x)＝３x２－１．因此f(０)＝０,f′(０)＝－１, 又因为曲线y＝f(x)在 点(０,f(０))处 的 切 线 方 程 为y －f(０)＝f′(０)(x－０), 故所求切线方程为x＋y＝０． (２)由已知得f(x)＝(x－t２＋３)(x－t２)(x－t２－３)＝ (x－t２ ) ３ －９(x－t２ )＝x ３ －３t２x ２ ＋ (３t２２ －９)x－t ３ ２ ＋９t２． 故f′(x)＝３x２－６t２x＋３t ２ ２－９． 令f′(x)＝０,解得x＝t２－ ３,或x＝t２＋ ３． 当x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (－∞,t２－ ３)t２－ ３ (t２－ ３,t２＋ ３) t２＋ ３ (t２＋ ３,＋∞) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 f′(x) ＋ ０ － ０ ＋ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 所以函数f(x)的极大值为f(t２－ ３)＝(－ ３) ３－９× (－ ３)＝６ ３;函 数 f(x)的 极 小 值 为 f(t２ ＋ ３)＝ (３)３－９× ３＝－６ ３． １２．解:(１)由 导 数 的 几 何 意 义 可 知,点 A 处 的 切 线 斜 率 为 f′(x１),点 B 处的切线斜率为f′(x２),故当 A 处的切线 与B 处的切线垂直时,f′(x１)f′(x２)＝－１, 当x＜０时,有f′(x)＝２x＋２,所 以 x１＜x２＜０,(２x１＋ ２)(２x２＋２)＝－１,所以２x１＋２＜０＜２x２＋２,所以x２－ x１ ＝ １ ２ [(２x２ ＋ ２ ) － (２x１ ＋ ２ )] ≥ －(２x１＋２)(２x２＋２)＝１,当且仅 当２x２＋２＝－(２x１ ＋２),即x１＝－ ３ ２ ,x２＝－ １ ２ 时,等 号 成 立,所 以 x２－ x１ 的最小值为１． (２)当x１＜x２＜０或０＜x１＜x２ 时,f′(x１)≠f′(x２), 所以x１＜０＜x２, 当x１＜０时,函数f(x)的 图 象 在 点 A 处 的 切 线 方 程 为 y－(x２１＋２x１＋a)＝(２x１＋２)(x－x１),即y＝(２x１＋２) x－x２１＋a, 当x２＞０时,函数f(x)的 图 象 在 点 B 处 的 切 线 方 程 为 y－lnx２＝ １ x２ (x－x２),即y＝ １ x２ x＋lnx２－１, 两处切线重合的充要条件是 １ x２ ＝２x１＋２, lnx２－１＝－x ２ １＋a． { 由 １ x２ ＝２x１＋２及x１＜０＜x２, 得－１＜x１＜０,a＝x ２ １＋lnx２－１＝x ２ １－ln(２x１＋２)－１, 记h(x)＝x２－ln(２x＋２)－１(－１＜x＜０),则h′(x)＝ ２x－ １x＋１＜０ , 所以h(x)在(－１,０)上 单 调 递 减,h(０)＝ －ln２－１,x 趋近 于 －１ 时,h(x)趋 近 于 ＋ ∞,所 以 h(x)∈ (－ln２－１,＋∞), 所以a 的取值范围是(－ln２－１,＋∞)． 靶心４ １．D　[因 为α,β∈ － π ２ ,π ２[ ] ,所 以αsinα,βsinβ 都 是 非 负数,因αsinα－βsinβ＞０,所 以αsinα＞βsinβ,所 以|α| ＞|β|,即α ２＞β ２,故选 D．] ２．C　[根据题意 构 造 函 数 F(x)＝f (x) ex ,借 助 函 数 的 单 调 性解不等式即可． 令 F(x)＝f (x) ex ,则 F′(x)＝f′ (x)－f(x) ex ＞０, ∴F(x)在 R 上为增函数,∴f(x)－ex ＜０ 可 化 为 F(x) ＜F(１),∴x＜１．故选:C． 点睛:本题考 查 函 数 的 导 数 与 单 调 性 的 结 合,结 合 已 知 条件构造函