靶心3 直线与曲线的纽带—图象的切线-2021高考数学【创新教程】大二轮高考总复习考向卷（新高考）

１２．解:(１)由f(x)＝ax２＋x－a 得f(－x)＝ax２－x－a, 代入f(－x)＝－f(x)得ax２＋x－a＋ax２－x－a＝０, 得到关于x 的方程ax２－a＝０(a≠０), 其中 Δ＝４a２,由于a∈R 且a≠０, 所以 Δ＞０恒成立, 所以函数f(x)＝ax２＋x－a 必有局部对称点． (２)f(x)＝２x＋b在区间[－１,２]内有局部对称点, 所以方程２x＋２－x＋２b＝０在区间[－１,２]上有解, 于是－２b＝２x＋２－x,设t＝２x,１２ ≤t≤４ , 所以－２b＝t＋ １t ,其中２≤t＋ １t ≤ １７ ４ , 所以－１７８ ≤b≤－１． (３)因为f(－x)＝４－x－m􀅰２－x＋１＋m２－３, 由f(－x)＝－f(x),所 以 ４－x －m􀅰２－x＋１＋m２ －３＝ －(４x－m􀅰２x＋１＋m２－３), 于是４x＋４－x－２m(２x＋２－x)＋２(m２－３)＝０􀆺(∗)在 R 上有解, 令t＝２x＋２－x(t≥２),则４x＋４－x＝t２－２, 所以方程(∗)变 为t２－２mt＋２m２－８＝０在 区 间[２,＋ ∞)内有解,需满足条件: Δ＝４m２－８(m２－４)≥０, ２m＋ ４(８－m２) ２ ≥２ ,{ 即 －２ ２≤m≤２ ２ , １－ ３≤m≤２ ２．{ 化简得１－ ３≤m≤２ ２． 靶心３ １．A　[根据题 意 求 出 f′(２)＝１,再 由 点 斜 式 写 出 切 线 方 程,即可选出答案．由 f′(x)＝ln(x－１)＋１,则 f′(２)＝ １,所以函数f(x)的图象在点(２,０)处 的 切 线 方 程 为y＝ x－２．故选 A． 点睛:本题主 要 考 查 函 数 上 某 点 的 切 线 方 程,需 熟 练 掌 握函数的求导法则,属于基础题.] ２．C　 [依 题 意 知,y′＝３x２ ＋a,则 １３＋a×１＋b＝３, ３×１２＋a＝k, k×１＋１＝３, { 由 此 解得 a＝－１, b＝３, k＝２, { 所以２a＋b＝１,选 C．] ３．A　[求出函数 的 导 数,求 得 切 线 的 斜 率,利 用 点 斜 式 可 得切线的方程,得到结果． 由y＝ x＋１ x－１ 可 得 y′＝ x－１－(x＋１) (x－１)２ ＝ － ２(x－１)２ ,所 以 y′|x＝０＝－２,所 以 曲 线y＝ x＋１ x－１ 在 点 (０,－１)处 的 切 线 方程为y＝－２x－１,故选 A． 点睛:该题考查的是有关 求 曲 线 在 某 点 处 的 切 线 方 程 的 问题,涉及到的知识点 有 导 数 的 几 何 意 义,直 线 的 方 程, 属于简单题目．] ４．A　[∵f(x)＝(ax－１)ex －２,f(２)＝(２a－１)e０＝２a－１, 求导f′(x)＝aex －２ ＋ (ax－１)ex －２ 􀅰１＝ (ax＋a－ １)ex －２, k切 ＝f′(２)＝(３a－１)e０＝３a－１, ∴k切 ＝ ３－(２a－１) ３－２ ＝４－２a＝３a－１ 解得a＝１, f(x)＝ (x－１)ex －２,∴f′(x)＝１􀅰ex －２ ＋ (x－１)ex －２ ＝xex －２, ∵ex －２＞０,则当x＞０时,f′(x)＞０, 则f(x)的单调递增区间是(０,＋∞),故选 A． 点睛:导数几 何 意 义:函 数 在 某 点 处 的 导 数 等 于 切 线 的 斜率．已知两 点 坐 标 也 可 求 斜 率．本 题 还 考 察 了 导 数 在 研究函数性质中的应用．] ５．B　[设 P 点的坐标为(x０,y０),因为 P 为公共切点,所以 曲线y＝xex 与曲线y＝ex２ 在 P 处 切 线 相 同,根 据 条 件 列出方程组求解即可． 设 P 点的坐标为(x０,y０),对 曲 线y＝xe ２ 求 导 得y′＝ex ＋ xex,对 曲 线 y ＝ ex２ 求 导 得 y′ ＝ ２ex,得 ex０ ＋x０e x０ ＝２ex０ x０e x０ ＝ex２０{ 解得x０＝１,得 P 点 坐 标 为 (１,e),切 线为２ex－y－e＝０．故选 B． 点睛:本题考 查 利 用 导 数 求 切 线 方 程,考 查 学 生 的 计 算 和转化能力,属于基础题．] ６．B　[由题可得,y′＝２x－ １ x ． 因为y＝x２－lnx 的定义域 为(０,＋∞),所以由２x－ １x ＝１ ,得x＝１,则 切 点 坐 标 为 (１,１),所以与y＝x－２平 行 的 切 线 方 程 为 x－y＝０,所 以两平行线间的距离为 d＝ ２ ２ ＝ ２,即 点 P 到 直 线y＝ x－２距离的最小值为 ２．] ７．AB　[求导,令 f′(x)＝２,故 ３x２－１＝２⇒x＝１ 或 －１, 经检验可得 P 点的坐标． 因f′(x)＝３x２－