安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题

淮北市2021届高三第一次模拟考试 理科数学试题卷 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 2. 若数列 为等差数列，且 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 3. 函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 4. 已知平面 ， ，直线l，m，且有 ， ，给出下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 .其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 5. 在 中，点D是线段 (不包括端点)上的动点，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 6. 某地气象局把当地某月(共30天)每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图.记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 7. 若i为虚数单位，复数z满足 ，则 的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 8. 甲､乙､丙三人从红，黄､蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲､乙､丙所戴帽子的颜色分别为（ ） A. 红､黄､蓝 B. 黄､红､蓝 C. 蓝､红､黄 D. 蓝､黄､红 【答案】B 9. 过圆 上的动点作圆 的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆 内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 10. 已知函数 ，则函数 零点的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 11. 已知双曲线 的左焦点为F，左顶点为A，直线 交双曲线于P､Q两点(P在第一象限)，直线 与线段 交于点B，若 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 12. 函数 的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为______. 【答案】 14. 二项式 的展开式中的常数项为 ． 【答案】112 15. 已知数列 的前n项和为 ，且 ，若 ，则数列 的前 项和为______. 【答案】 16. 在棱长为 的正方体 中， 是 的中点， 是 上的动点，则三棱锥 外接球表面积的最小值为_______. 【答案】 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. 17. 在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 . （1）求角B的大小； （2）若 ， ，求 的面积 【答案】（1） ；（2） 18. 如图，在多面体 中，四边形 是边长为 的正方形， ， ，且 ， ， 面 ， ，N为 中点. （1）若 是 中点，求证： 面 ； （2）求二面角 的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 19. 甲､乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲､乙在每局比赛中获胜概率均为 ，各局比赛相互独立，用X表示比赛结束时的比赛局数 （1）求比赛结束时甲只获胜一局概率； （2）求X分布列和数学期望. 【答案】（1） ；（2）分布列见解析， . 20. 已知函数 ， . （1）若 是增函数，求实数m的取值范围； （2）当 时，求证： . 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 21. 已知椭圆 的离心率为 ，左顶点为A，右焦点F， .过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ，（2） 22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数).以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （2）设P为曲线 上的动点，求点P到 的距离的最大值，并求此时点P的坐标. 【答案】（1） ； ；（2） ； 23. 已知不等式 的解集为 . （1）求m，n的值； （2）若 ， ， ，求证： 【答案】（1） ；（2）证明见详解. 本试卷的题干