专题06抽象函数C辑-2021年高考数学压轴必刷题（第二辑）

2021年高考数学压轴必刷题（第二辑） 专题06抽象函数C辑 1．已知函数f（x）的定义域是{x|x＞0}，并且满足：当x＞1时，f（x）＞2；∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1x2）＝f（x1）f（x2）﹣f（x1）﹣f（x2）+2． （1）求f（1）； （2）求证函数f（x）在（1，+∞）上单调递增； （3）当f（2）＝5时，求不等式f（x）＜17的解集． 2．已知f（x），x∈R是有界函数，即存在M＞0使得|f（x）|≤M恒成立． （1）F（x）＝f（x+1）﹣f（x）是有界函数，则f（x），x∈R是否是有界函数？说明理由； （2）判断f1（x），f2（x）＝9x﹣2•3x是否是有界函数？ （3）有界函数f（x），x∈R满足f（x）+f（x）＝f（x）+f（x），f（x），x∈R是否是周期函数，请说明理由． 3．已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对定义域内的任意x，y都有f（x﹣y）成立，且f（1）＝1，当0＜x＜2时，f（x）＞0． （1）证明：函数f（x）是奇函数； （2）试求f（2），f（3）的值，并求出函数f（x）在[2，3]上的最值． 4．定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）＝f（x）+f（y），且f（x）是区间（0，+∞）上的递增函数 （1）求f（1），f（﹣1）的值； （2）求证：f（﹣x）＝f（x）； （3）解关于x的不等式：． 5．定义在R上的函数f（x）满足： （1）f（x）+f（y）+1≥f（x+y）≥f（x）+f（y）； （2）f（0）≥f（x），x∈[0，1）； （3）﹣f（﹣1）＝f（1）＝1 （Ⅰ）求f（0）； （Ⅱ）当x∈[0，1）时，求证：f（x）＝0 （Ⅲ）若集合M＝{（x，y）|f（x）f（y）＝7}，求集合M在平面直角坐标系中对应的平面区域的面积． 6．若函数f（x）＝对任意的实数x，均有f（x﹣1）+f（x+1）＞2f（x），则称函数f（x）具有性质P． （1）判断函数y＝x3是否具有性质P，并说明理由； （2）若函数f（x）具有性质P，且f（0）＝f（n）＝0（n＞2，n∈N*）． ①求证：对任意i∈{1，2，3，…，n﹣1}，都有f（i）≤0； ②是否对任意x∈[0，n]，均有f（x）≤0？若成立，请加以证明；若不成立，请给出反例并加以说明． 7．已知函数f（x）的定义域为（0，1），且f（）＝1，对∀x，y∈（0，1），都有f（x）+f（y）＝f（），数列{an}满足a1，an+1 （Ⅰ）证明：∀n∈N*，an＜1； （Ⅱ）若数列{bn}满足bn＝f（an），求数列{bn}的通项公式； （Ⅲ）设An，证明：当n≥2时，|akAk|．（其中符号ai＝a1+a2+…+an） 8．已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）+f（y）＝2+f（x+y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5． （1）判断函数f（x）的单调性； （2）求不等式f（a2﹣2a﹣2）＜3的解集． 9．若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P． （Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由． ①y＝ax（a＞1）； ②y＝x3． （Ⅱ）若函数f（x）具有性质P，且f（0）＝f（n）＝0（n＞2，n∈N*）， 求证：对任意i∈{1，2，3，…，n﹣1}有f（i）≤0； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0．若成立给出证明，若不成立给出反例． 10．已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件： ①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0； ②f（1）＝1； ③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，并且称f（x）为“友谊函数”， 请解答下列各题： （1）若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值； （2）函数g（x）＝2x﹣1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由． （3）已知f（x）为“友谊函数”，且0≤x1＜x2≤1，求证：f（x1）≤f（x2）． 11．设函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，且对于任意正数x，y有f（xy）＝f（x）+f（y），已知f（2）＝1． （1）求f（）的值； （2）一个各项均为正数的数列{an}满足：f（Sn）＝f（an）+f（an+1）﹣1（n∈N*），其中Sn是数列{an}的前n项的和，求数列{an}的通项公式； （3）在（2）的条件下，是否存在正数M，使 2n•a1•a2…an≥M（2a2﹣1）…（2an﹣1）对一切n∈N*成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由． 12．函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件： ①对任意x∈R，