辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校五校协作体2020-2021学年高二上学期期末数学试题

2020—2021学年度上学期期末考试 高二年级数学科试卷参考答案及评分标准 一．选择题1~4.DDCA 5~8A BAB 二.多选题9.AC 10.BD 11． BCD 12.AD 三．填空题：13. 14. 15． . 16． ， 四、解答题 17．解（1）因为 ， ，依题意得： ， 所以 ，得 …………………5分 （2） 令 得： .① 令 得： .② 由①—②得： ， 即 . 所以 ···········10分 18．解：（1） 底面 ， ， ， ， ， 于是以 为原点， ， ，和 所在直线分别为 、 和 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，3， ， ，0， ， EMBED Equation.DSMT4 ，0， ， ，0， ， ，3， ， 设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，即 ， 令 ，则 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，1， ， 设直线 与面 所成的角为 ，则 ． 故直线 与面 所成角的正弦值为 ．·················6分 （2）由（1）可知， ，0， ， ，3， ， 设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，即 ， 令 ，则 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ． 由题可知，二面角 为锐二面角， 故二面角 的余弦值为 ．··················12分 19.解（1）当直线 与直线 平行时，不能构成 ，此时 ，解得： ，所以 ，又因为点 在 轴正半轴上，且直线 与定直线 再第一象限内交于点 ，所以 . ······4分 （2）当直线 的斜率不存在时，此时 即 , ，此时 , 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，由于直线的斜率存在，所以 ，且 ， 又 ， 或 ， 由 ，得 ，即 ， 则 且 且 综上当且仅当 时S最小，此时解得： ， 则直线 的方程为 即 ·········12分 20． 证明：法1：取 的中点 ，连接 ， 为 的中点， 又 ，且 ， ，即 ， ， 为平行四边形， ∴ 平面 ．··············6分 法2：过 作 于点 ，则 ，以 为原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则 ， ， ，  ， ， ， ∵ 为 的中点．∴ ．则 ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 令 ，则 ， ，∴ ．∴ ，即 ， 又 平面 ．∴ 平面 ．··················6分 过 作 于点 ，则 ，以 为原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则 ， ， ，  ， ， ， 令 ， ，设 ， ∴ ．∴ ， ∴   .由 知，平面 的法向量为 . ∵直线 与平面 所成角的余弦值为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为 ∴ ，化简得 ， 即 ，∴ ，故 ．·····12分 21．解（1）法1：设点P ，则有 化简得 ，则点P的轨迹方程是 ········6分 方法2：已知点P到定点 的距离比到 轴距离大 ,由于点F到x轴的距离为 故当 时直线 上的点适合条件； 当 时，P到F的距离等于到直线 的距离，故轨迹方程为抛物线 综上：点P的轨迹方程是 ············6分 （2）设 代入 得 ， 同理 ， 则 ，则直线 的方程是 和 或 和 ········12分 22. 解：（1）由题知，抛物线 的准线为 ，则椭圆 的一个焦点为 ，∴ . 又∵短轴长为 ，∴ ，∴ ， ∴椭圆 的方程为 .·····3分 （2）由（1）知 ， . 设直线 ，过点 时， ；过 时， ； 由题意知 . 联立方程 ，消去 得 . 设 ， ，则 设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， ， ， ∴ ， . ·······6分 设直线 ，联立方程 ， 消去 得 . 设 ， ，则 ， ∴ ， 同理 .∴ EMBED Equation.DSMT4 ········10分 .∵ ，∴ ， ∴ .·································12分 高二年级数学科试卷参考答案 共 7 页 第 6 页 $$2020—2021学年度上学期高二年级期末考试数学科试卷 命题学校：大连第二十四中学 命题人：张宁 校对人：卢静 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A．、、共线 B．、共线 C．、共线 D．O、A、B、C四点共面 2．3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（ ）