寒假作业十六 等差数列-【我的假期我做主】2021年新教材高二数学寒假作业

　　数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠．———考特 ４５ 当n→＋∞时,an＝ ３n ２n＋１＝ ３ ２＋ １n → ３２ , ∴１≤an＜ ３ ２ ,故得证． １２．解析:(１)∵an＝１＋ １ a＋２(n－１) (n∈N∗ ,a∈R,且a≠０), 又a＝－７,∴an＝１＋ １ ２n－９ (n∈N∗ )． 结合函数f (x)＝１＋ １ ２x－９ 的 单 调 性,可 知 １＞a１＞a２＞a３＞a４,a５ ＞a６＞a７＞􀆺＞an＞１(n∈N∗ )． ∴数列{an}中的最大项为a５＝２,最小项为a４＝０． (２)an＝１＋ １ a＋２(n－１)＝１＋ １ ２ n－２－a２ , 已知对任意 的 n∈N∗ ,都 有 an ≤a６ 成 立,结 合 函 数 f (x)＝１＋ １ ２ x－２－a２ 的单调性, 可知５＜２－a２ ＜６ ,即－１０＜a＜－８． 即a 的取值范围是(－１０,－８)． 寒假作业十六　等差数列 [知识梳理] １．(１)差　an＋１－an＝d　(２)等差中项 ２．(１)a１＋(n－１)d＝nd＋(a１－d) [学业测评] １．A　由题设可知:a３＋a１１＝２０＝２a７,解得a７＝１０． ２．D　设等差数列{an}的首项为a１,公差为d, 由a３＋a７＝８,S７＝３５,得 ２a１＋８d＝８, ７a１＋２１d＝３５,{ 解 得a１＝８,d＝－１,则a４ ＝５,a５＝４,故a４＋a５＝９． ３．BCD　∵S５＝S１１,∴a６＋a７＋􀆺＋a１１＝３(a６＋a１１)＝３(a１＋a１６)＝０, ∴a１＋a１６＝０,∵a１＝１５,∴a１６＝－１５, ∴数列{an}的公差d＝ a１６－a１ １６－１ ＝－２ , ∴an＝１５－２(n－１)＝１７－２n,Sn＝１５n－２× n(n－１) ２ ＝－n ２＋１６n, 逐个选项验证,可知 BCD 正确． ４．D　数列{an},{bn}都 是 等 差 数 列,记 Sn,Tn 分 别 为{an},{bn}的 前n 项和,且 Sn Tn ＝７n－１３n ,则 a５ b５ ＝ ２a５ ２b５ ＝ a１＋a９ b１＋b９ ＝ ９(a１＋a９) ２ ９(b１＋b９) ２ ＝ S９ T９ ＝ ７×９－１ ３×９ ＝ ６２ ２７． ５．B　∵a１＞０,a１００９􀅰a１０１０＜０, ∴d＜０且a１００９＞０,a１０１０＜０, 又S２０１８＝ ２０１８(a１＋a２０１８) ２ ＝１００９ (a１００９＋a１０１０)＞０, 而S２０１９＝ ２０１９(a１＋a２０１９) ２ ＝２０１９a１０１０＜０ , 故使得前n 项和Sn＞０成立的最大自然数n 是２０１８． ６．AB　对 B,由题意,Sn＝S１３－n,令n＝７有S７＝S６⇒S７－S６＝０⇒a７＝ ０,故 B正确．对 A,S１３＝ １３(a１＋a１３) ２ ＝１３a７＝０． 故 A 正确． 对 C,当an＝０时满足Sn＝S１３－n＝０,故{an}为递 增 数 列 不 一 定 正 确． 故 C 错误． 对 D,由 A,B项,可设当an＝７－n 时满足Sn＝S１３－n,但a１３＝－６．故 D 错误． 故 AB正确． ７．解析:由题设可知:an＝３＋２(n－１)＝２n＋１, 若遗漏掉的是首项或末项,则１９９＝９a中 ,故 a中 ＝２２ １ ９ (舍 ), 故可设余下的 ９ 项 为an,an＋１,an＋２,􀆺,an＋m－１,an＋m＋１,an＋m＋２,􀆺, an＋９,其中 m∈N∗ 且 m≤８, 则１０an＋ １０×９×２ ２ －an＋m ＝１９９ , 即１０(２n＋１)＋９０－２(m＋n)－１＝１９９, 故 m＝９n－５０, 又∵m∈N∗ 且 m≤８, ∴m＝４,n＝６, 故an＋an＋１＋􀆺＋an＋９＝a６＋a７＋􀆺＋a１５＝ １０(a６＋a１５) ２ ＝２２０． 答案:２２０ ８．解析:∵S３,S６－S３,S９－S６ 成 等 差 数 列,而 S３＝９,S６－S３＝a４＋a５ ＋a６＝７,∴S９－S６＝５． 答案:５ ９．解析:因为an＋１－an＝n＋２,所 以a２－a１＝３,a３－a２＝４,a４－a３＝５, 􀆺,an－an－１＝n＋１(n≥２), 上面n－１个式子左右两边分别相加 得an－a１＝ (n＋４)(n－１) ２ ,即an ＝ (n＋１)(n＋２) ２ , 所以a３９＝ ４０×４１ ２ ＝８２０． 答案:８２０ １０．解析:设等差数列{an}的项数为２n＋１, S奇 ＝a１＋a３＋􀆺＋a２n＋１＝ (n＋１)(a１＋a２n＋１) ２ ＝ (n＋１)an＋１, S偶 ＝a２＋a４＋a６＋􀆺＋a２n＝ n(a２＋a２n) ２ ＝nan＋１ , 所以 S奇 S偶 ＝n＋１n ＝ ４４ ３３ ,解得n＝３,所以项数为２n＋１＝７, S奇 －S偶