寒假作业十三 双曲线-【我的假期我做主】2021年新教材高二数学寒假作业

　　布尔巴基学派(法国数学研究团体)认为:“数学是研究抽象结构的理论”．４２ ９．解析:设正三角形 POF２的边长为c,则 ３ ４c ２＝ ３, 解得c＝２,从而|OF２|＝|PF２|＝２, 连接 PF１(图略),由|OF１|＝|OF２|＝|OP|知,PF１⊥PF２, 则|PF１|＝ |F１F２|２－|PF２|２＝ ４２－２２＝２ ３, 所以２a＝|PF１|＋|PF２|＝２ ３＋２,即a＝ ３＋１, 所以b２＝a２－c２＝(３＋１)２－４＝２ ３． 答案:２ ３ １０．解析:连接 F２P,则 F２P⊥PF１, 在 Rt△F１PF２ 中,PF２＝c,F１F２＝ ２c,则∠PF１F２＝ π ６ , ∴直线l的斜率k＝tan π６ ＝ ３ ３ ; 由椭圆 定 义,可 得 PF１ ＝２a－c,则 (２a－c)２ ＋c２ ＝４c２,即e２ ＋２e－２ ＝０, 又０＜e＜１,解得e＝ ３－１． 答案:３ ３ 　 ３－１ １１．解析:设所求椭圆的标准方程为x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)． 设焦点 F１(－c,０),F２(c,０)(c＞０)． ∵F１A⊥F２A,∴F１A →􀅰F２A→＝０, 而F１A →＝(－４＋c,３),F２A→＝(－４－c,３), ∴(－４＋c)􀅰(－４－c)＋３２＝０,∴c２＝２５,即c＝５． ∴F１(－５,０),F２(５,０)． ∴２a＝|AF１|＋|AF２|＝ (－４＋５)２＋３２ ＋ (－４－５)２＋３２ ＝ １０＋ ９０＝４ １０． ∴a＝２ １０,∴b２＝a２－c２＝(２ １０)２－５２＝１５． ∴所求椭圆的标准方程为x ２ ４０＋ y２ １５＝１． １２．解析:(１)由离心率为 ２２ ,可得a＝ ２c． 短轴的一个端点到椭圆的一个焦点的距离为２ ２,可得a＝２ ２, ∴c＝２,∴b２＝a２－c２＝(２ ２)２－２２＝４, ∴椭圆C 的方程为x ２ ８ ＋ y２ ４ ＝１． (２)设 A(x１,y１),B(x２,y２), 直线y＝x－１与x 轴的横截距为１, 联立直线y＝x－１与椭圆C 方程,可得 y＝x－１, x２ ８ ＋ y２ ４ ＝１ ,{ 即３y２＋２y－７＝０, ∴y１＋y２＝－ ２ ３ ,y１y２＝－ ７ ３ , ∴S△AOB ＝ １ ２ ×１×|y１－y２|＝ １ ２ (y１＋y２)２－４y１y２＝ ２２ ３ ． 寒假作业十三　双曲线 [知识梳理] ３．(－c,０)　(c,０)　(０,－c)　(０,c)　２a　２b　c２－b２ [学业测评] １．BCD　A 错误,当t＝ ５２ 时,曲线C 表示圆;B正确,若 C 为 双 曲 线,则 (４－t)(t－１)＜０,∴t＜１ 或t＞４;C 正 确,若 曲 线 C 为 焦 点 在x 轴 上 的椭圆,则４－t＞t－１＞０, ∴１＜t＜ ５２ ;D 正 确,若 曲 线 C 为 焦 点 在 y 轴 上 的 双 曲 线,则 ４－t＜０, t－１＞０,{ ∴t＞４． ２．C　由题意得双曲线的离心率e＝ a ２＋１ a ,即e２＝a ２＋１ a２ ＝１＋ １ a２ ． ∵a＞１,∴０＜ １ a２ ＜１,∴１＜１＋ １ a２ ＜２,∴１＜e＜ ２． ３．A　双曲线C 的渐近线方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝０,又 点 P(２,１)在 C 的 渐 近 线上,所以 ４ a２ － １ b２ ＝０,即a２＝４b２．　① 又a２＋b２＝c２＝２５．　② 由①②,得b２＝５,a２＝２０,所以双曲线C 的方程为x ２ ２０－ y２ ５ ＝１． ４．A　双曲线C:x ２ ３ －y ２＝１,可得a＝ ３,b＝１,则c＝２, 设|PF１|＝m,|PF２|＝n, 由双曲 线 的 定 义 可 得:|m－n|＝２a＝２ ３,则 有 m２ ＋n２ －２mn＝ １２,① 又由∠F１PF２＝６０°,则有 m２＋n２－２mncos６０°＝４c２＝１６,② 联立①②解可得 mn＝４, 则△PF１F２ 的面积S＝ １ ２mnsin６０°＝ ３． ５．C　根据双曲线x ２ １６－ y２ １２＝１ ,得a＝４,b＝２ ３, 由双曲线的定义可得:|AF２|－|AF１|＝２a＝８,① |BF２|－|BF１|＝２a＝８,② ①＋②可得:|AF２|＋|BF２|－(|AF１|＋|BF１|)＝１６, 由于过双曲线的左焦点 F１ 的直线交双曲线的左支于 A,B 两点, 可得|AF１|＋|BF１|＝|AB|,当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小． 即有|AF２|＋|BF２|－(|AF１|＋|BF１|)＝|AF２|＋|BF２|－|AB| ＝１６． 即有|BF２|＋|AF２|＝|AB|＋１６≥ ２b２ a ＋１６＝ ２×１２ ４ ＋１６＝２２． ６．A　由题意,A(a,０),B c,b ２ a( )