寒假作业十四 抛物线-【我的假期我做主】2021年新教材高二数学寒假作业

　　黑格尔说:“数学是上帝描述自然的符号”． ４３ １０．解析:由题意得右焦点 F(c,０), 设一渐近线 OA 的方程为y＝ b ax ,则 另 一 渐 近 线 OB 的 方 程 为y＝ － bax , 设 A m,bma( ) ,B n,－ bn a( ) , ∵２AF→＝FB→,∴２ c－m,－bma( ) ＝ n－c,－ bn a( ) , ∴２(c－m)＝n－c,－２bma ＝－ bn a , ∴m＝ ３４c ,n＝ ３２c ,∴A ３４c ,３bc ４a( ) ． 由 FA⊥OA 可得,斜率之积等于－１, 即 ３bc ４a－０ ３c ４ －c 􀅰 b a ＝－１ , ∴a２＝３b２,∴ ba ＝ ３ ３ , 则双曲线C 的渐近线方程是y＝± ３ ３x． 答案:y＝± ３ ３x １１．解析:(１)由已知得c＝２,e＝２,所以a＝１,b＝ ３． 所以所求双曲线方程为x２－y ２ ３ ＝１． (２)设直线l的方程为y＝x＋m,点 M(x１,y１),N(x２,y２)． 联立 y＝x＋m, x２－y ２ ３ ＝１ ,{ 整理得２x２－２mx－m２－３＝０．(∗) 设 MN 的中点为(x０,y０),则x０＝ x１＋x２ ２ ＝ m ２ ,y０＝x０＋m＝ ３m ２ , 所以线段 MN 垂直平分线的方 程 为y－ ３m ２ ＝－ x－ m ２( ) ,即 x＋y －２m＝０, 与坐标轴的交点分别为(０,２m),(２m,０), 可得 １ ２|２m| 􀅰|２m|＝４,得 m２＝２,m＝± ２,此 时(∗)的 判 别 式 Δ ＞０,故直线l的方程为y＝x± ２． １２．解析:(１)双曲线C 的焦点为(０,－ ３)、(０,３),实轴长为２ ２, 则c＝ ３,２a＝２ ２,即a＝ ２, 则b２＝c２－a２＝３－２＝１, ∴双曲线C 的标准方程y ２ ２ －x ２＝１． (２)设点 M(x１,y１),N(x２,y２), ∵点 Q(１,１)恰好为线段 MN 的中点, ∴x１＋x２＝２,y１＋y２＝２, 则 y２１ ２ －x ２ １＝１, y２２ ２ －x ２ ２＝１,{ 两式相减可得 １ ２ (y１－y２)(y１＋y２)＝(x１－x２)(x１＋x２), ∴ y１－y２ x１－x２ ＝２, ∴直线l的斜率为k＝２, ∴直线l的方程为y－１＝２(x－１),即y＝２x－１, 由 y＝２x－１, y２－２x２＝２,{ 即２x ２－４x－１＝０,∴x１x２＝－ １ ２ , 则|MN|＝ １＋２２􀅰 (x１＋x２)２－４x１x２＝ ５× ４＋２＝ ３０． 寒假作业十四　抛物线 [知识梳理] ２．x＝－ p２ 　x＝ p ２ 　y＝－ p ２ 　y＝ p ２ [学业测评] １．B　当定点在定直线 上 时,其 动 点 轨 迹 不 是 抛 物 线,反 过 来 抛 物 线 上 的点满足到焦点的距离等于到准线的距离,故应选 B． ２．C　将点 A(２,４)的坐标代入y２＝２px,得p＝４, ∴抛物线方程为y２＝８x,焦点 F(２,０),又 B(８,－８), ∴|AF||BF|＝ (２－２)２＋(４－０)２ (８－２)２＋(－８－０)２ ＝ ４１０＝ ２ ５ ． ３．D　如图,∵△FPM 是等边三角形, ∴由抛物线的定义知 PM⊥l． 在 Rt△MQF 中,|QF|＝２,∠QMF＝３０°, ∴|MF|＝４, ∴S△PMF ＝ ３ ４ ×４ ２＝４ ３． ４．C　依题意知,曲线 PQ 是以A 为焦点、l为准线 的抛物线,根 据 抛 物 线 的 定 义 知:欲 求 从 M 到 A,B 修建公路的费用最低,只需求 出 B 到 直 线l 的 距 离 即 可,∵B 地 在A 地东偏北３０°方向２ ３km 处, ∴B 到点A 的水平距离为３km, ∴B 到直线l 距离为:３＋２＝５(km), 那么修建这条公路的总费用最低为５a 万元,故选 C． ５．ACD　抛物线y２＝２px(p＞０)的焦点为 F p２ ,０( ) ,过 F 的 直 线l 的 方程为x＝ p２ 或y＝k x－ p２( ) , 当x＝ p２ 时,x１x２＝ １ ４p ２, 联立直线和抛物线方程可得k２x２－(pk２＋２p)x＋ k２ ４p ２＝０, ∴x１x２＝ １ ４p ２,x１＋x２＝p＋ ２p k２ ,故 A 对; ∴y１y２＝－ ４p２x１x２＝－p２,∴x１x２＋y１y２＝－ ３ ４p ２,故 D 正确, 当直线的倾斜角为６０°,k＝ ３, ∵x１＋x２＝p＋ ２ ３p , ∴|AB|＝x１＋x２＋p＝ ８ ３p ,故 B错误, ∵|AF|＝x１＋ p ２ ,|BF|＝x２＋ p ２ , ∴ １|AF|＋ １ |BF|＝ １ x１＋ p ２ ＋ １ x２＋ p ２ ＝ x１＋x２＋p x１x２