寒假作业十五 数列的概念-【我的假期我做主】2021年新教材高二数学寒假作业

　　克莱因(美国数学家)说:“数学是一种理性的精神,使人类的思维得以运用到最完善的程度”．４４ １０．解析:∵抛物线的焦点为 F(１,０),∴ p２ ＝１ ,即 p＝２,故 抛 物 线 方 程 为y２＝４x,∴MF＝p＝２, 设直线 AB 的方程为x＝my＋１, 联立方程组 y ２＝４x, x＝my＋１,{ 消去x 可得:y ２－４my－４＝０, 设 A(x１,y１),B(x１,y２),则y１＋y２＝４m,y１y２＝－４, ∴S△MAB ＝ １ ２ ×|MF|×|y１ －y２|＝ (y１＋y２)２－４y１y２ ＝ １６m２＋１６＝８ ３３ , ∴m２＝ １３ , 不 妨设A 在第一象限,若 m＝ ３３ ,则y２－ ４ ３ ３ y－４＝０ ,故y１＝２ ３, y２＝－ ２ ３ ３ , ∴|AF||BF|＝ |y１| |y２| ＝３, 若 m＝－ ３３ ,则y２＋ ４ ３ ３ y－４＝０ ,故y１＝ ２ ３ ３ , y２＝－２ ３, ∴|AF||BF|＝ |y１| |y２| ＝ １３ ． 答案:３或 １３ １１．解析:如图所示,以点 O 为原 点,过 点 O 且 平 行 于AB 的 直 线 为x 轴,线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 为y 轴建立平面直角坐标系, 则 B(９,－８)． 设抛物线方程为x２＝－２py(p＞０)． ∵B 点在抛物线上,∴８１＝－２p􀅰(－８), ∴p＝ ８１ １６ , ∴抛物线的方程为x２＝－８１８y． 当x＝ ９２ 时,y＝－２,即|DE|＝８－２＝６． ∴|DE|不超过６米才能使货船通过拱桥． １２．解析:(１)由抛物线的定义得|AF|＝２＋ p２ ． 由已知|AF|＝３,得２＋ p２ ＝３ ,解得p＝２． 所以抛物线 E 的方程为y２＝４x． (２)证明:法一:因为点 A(２,m)在抛物线 E:y２＝４x 上, 所以 m＝±２ ２,由抛物线的对称性,不妨设 A(２,２ ２)． 由 A(２,２ ２),F(１,０)可得直线 AF 的方程为y＝２ ２(x－１)． 由 y＝２ ２(x－１), y２＝４x,{ 得２x ２－５x＋２＝０, 解得x＝２或x＝ １２ ,从而 B １２ ,－ ２( ) ． 又 G(－１,０),所 以 kGA ＝ ２ ２－０ ２－(－１)＝ ２ ２ ３ ,kGB ＝ － ２－０ １ ２ － (－１) ＝ －２ ２３ , 所以kGA ＋kGB ＝０,从 而 ∠AGF＝ ∠BGF,这 表 明 点 F 到 直 线GA, GB 的距离相等, 故以 F 为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线 GB 相切． 法二:设以点 F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r． 因为点 A(２,m)在抛 物 线 E:y２＝４x 上,所 以 m＝±２ ２,由 抛 物 线 的对称性,不妨设 A(２,２ ２)． 由 A(２,２ ２),F(１,０)可得直线 AF 的方程为y＝２ ２(x－１)． 由 y＝２ ２(x－１), y２＝４x,{ 得２x ２－５x＋２＝０, 解得x＝２或x＝ １２ , 从而 B １２ ,－ ２( ) ． 又 G(－１,０),故 直 线 GA 的 方 程 为 ２ ２x－３y＋２ ２＝０,从 而r＝ |２ ２＋２ ２| ８＋９ ＝４ ２ １７ ． 又直线 GB 的方程为２ ２x＋３y＋２ ２＝０, 所以点 F 到直线GB 的距离d＝|２ ２＋２ ２| ８＋９ ＝４ ２ １７ ＝r． 这表明以点 F 为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线 GB 相切． 寒假作业十五　数列的概念 [知识梳理] １．每一个数　an　{an} ２．序号n　 ３．(２)递推 ４．(１)１　n　a１＋a２＋􀆺＋an　(２)S１,n＝１　Sn－Sn－１,n≥２ [学业测评] １．ABCD　可以验证,当n 为奇数时,ABCD 对应的项均为１, 当n 为偶数时,ABCD 对应的项均为０． ２．A　数列{an}的通项公式为an＝(－１)n(n２－１),则a６＝３６－１＝３５． ３．D　由题知a１＝１,a２＝３,a３＝７,a４＝１５,经验证,选 D． ４．B　∵an＋１－an＝ n＋１ ２n＋１－ n ２n－１＝ －１ (２n＋１)(２n－１)＜０ , ∴an＋１＜an．故该数列是递减数列． ５．D　把an＝－２n２＋２９n＋３看成二次函数,对称轴为n＝ ２９ ４ ＝７ １ ４ , ∴n＝７时an 最大,最大项的值是a７＝－２×７２＋２９×７＋３＝１０８． ６．BC　根据题意,an＝f(n)＝ (３－a)n－３,n≤７, an－６,n＞７,{ n∈N ∗ ,要 使 {an}是 递增数 列,必 有 ３－a＞０, a＞１, (３－a)×７－３＜a８－６,{ 据 此 有 : a＜３, a＞１, a＞２或a＜－９,{ 综 上可得