寒假作业五 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【我的假期我做主】2021年新教材高二数学寒假作业

　　虚数是奇妙的人类精神寄托,她好像是存在与不存在之间的一种两栖动物．———莱布尼茨 ３５ ∴当 x ＝ １２ 时,AP→ 􀅰 BP→ 取 最 小 值 ７４ ,此 时 点 P 的 坐 标 为 １ ２ ,０,０( ) ． 答案: ３ ２ ,０,０( ) 　 １２ ,０,０( ) １１．解析:(１)∵a＝(１,１,０),b＝(－１,０,２),∴a􀅰b＝(１,１,０)􀅰(－１,０, ２)＝－１, 又|a|＝ １２＋１２＋０２＝ ２,|b|＝ (－１)２＋０２＋２２＝ ５, ∴cos‹a,b›＝ a 􀅰b |a||b|＝ －１ １０ ＝－ １０１０ ,即 向 量a 与 向 量b 的 夹 角 的 余弦值为－ １０１０ ． (２)法一:∵ka＋b＝(k－１,k,２),ka－２b＝(k＋２,k,－４),且ka＋b 与ka－２b互相垂直, ∴(k－１,k,２)􀅰(k＋２,k,－４)＝(k－１)(k＋２)＋k２－８＝０,∴k＝２ 或k＝－ ５２ , ∴当ka＋b与ka－２b互相垂直时,实数k的值为２或－ ５２ ． 法二:由(１)知|a|＝ ２,|b|＝ ５,a􀅰b＝－１, ∴(ka＋b)􀅰(ka－２b)＝k２a２－ka􀅰b－２b２＝２k２＋k－１０＝０,得k＝ ２或k＝－ ５２ ． １２．解析:(１)设正三棱柱的侧棱长为h, 由题意得A(０,－１,０),B(３,０,０),C(０,１,０),B１(３,０,h),C１(０,１, h), 则AB１→＝(３,１,h),BC１→＝(－ ３,１,h), 因为 AB１⊥BC１,所以AB１→􀅰BC１→＝－３＋１＋h２＝０, 所以h＝ ２． (２)由(１)可知AB１→＝(３,１,２),BC→＝(－ ３,１,０), 所以AB１→􀅰BC→＝－３＋１＝－２． 因为|AB１→|＝ ６,|BC→|＝２,所以cos‹AB１→,BC→›＝ －２ ２ ６ ＝－ ６６ ． 所以异面直线 AB１与 BC 所成角的余弦值为 ６ ６ ． 寒假作业五　用空间向量研究直线、 平面的位置关系 [知识梳理] １．OP→　OP→　OA→＋ta　OA→＋tAB→　xa＋yb　OA→＋xAB→＋yAC→ ２．u１∥u２　(a１,b１,c１)＝λ(a２,b２,c２)　u􀅰n＝０　a１a２＋b１b２＋c１c２＝０ 　n１∥n２　(a１,b１,c１)＝λ(a２,b２,c２) ３．u􀅰v＝０　a１b１＋a２b２＋a３b３＝０　u∥n　u＝λn　(a１,b１,c１)＝λ(a２, b２,c２)　n１⊥n２　n１􀅰n２＝０　a１a２＋b１b２＋c１c２＝０ [学业测评] １．ABC　若l∥α,则a􀅰n＝０．而 A 中a􀅰n＝－２, B 中a􀅰n＝１＋５＝６,C 中a􀅰n＝－１,只有 D 选项中a􀅰n＝－３＋３＝ ０． ２．B　因为 m＝(３,１,－５),n＝(－６,－２,１０),所 以 有n＝－２m,即 m 与 n 共线(平行),可知平面α和平面β 互相平行． ３．B　设正方体棱长为２,则 A(２,０,０),E(２,２,１),F(１,０,２), ∴AE→＝(０,２,１),AF→＝(－１,０,２), 设向量n＝(x,y,z)是平面 AEF 的一个法向量, 则 n􀅰AE→＝２y＋z＝０, n􀅰AF→＝－x＋２z＝０,{ 取y＝１,得x＝－４,z＝－２, ∴n＝(－４,１,－２)是平面 AEF 的一个法向量, 因此,只有 B选项的向量是平面 AEF 的一个法向量,故选 B． ４．B　对于 B,AP→＝ －１,４,－ １２( ) , 则n􀅰AP→＝(３,１,２)􀅰 －１,４,－ １２( ) ＝０, ∴n⊥AP→,则点 P １,３,３２( ) 在平面α内． ５．ABC　∵AB→􀅰AP→＝０,AD→􀅰AP→＝０, ∴AB⊥AP,AD⊥AP,则 A,B正确． 又AB→与AD→不平行, ∴AP→是平面ABCD 的法向量,则 C 正确． 由于BD→＝AD→－AB→＝(２,３,４),AP→＝(－１,２,－１), ∴BD→与AP→不平行,故 D 错误． ６．B　分别以C１B１,C１D１,C１C 所 在 直 线 为 x,y,z 轴,建 立 空 间 直 角 坐 标 系,如 图 所示． ∵A１M ＝AN ＝ ２ ３a ,∴MB→ ＝ ２３ A１B →, CN→＝ ２３CA →, ∴M a,２a３ ,a ３( ) ,N ２a ３ ,２a ３ ,a( ) , ∴MN→＝ － a３ ,０, ２ ３a( ) ． 又C１(０,０,０),D１(０,a,０),∴C１D１→＝(０,a,０), ∴MN→􀅰C１D１→＝０,∴MN→⊥C１D１→． ∵C１D１→是平面 BB１C１C 的法向量, 且 MN⊄平面 BB１C１C,∴MN∥平面 BB１C１C． ７．解析