寒假作业二十 导数在研究函数中的应用-【我的假期我做主】2021年新教材高二数学寒假作业

　　开普勒说:“以我一生最好的时光追寻那个目标􀆺􀆺书已经写成了．现代人读或后代 读 都 无 关 紧要,也许要等一百年才有一个读者”．４８ 寒假作业二十　导数在研究 函数中的应用 [知识梳理] １．增　减 ２．快　陡峭　慢　平缓 ３．(１)０　f′(x)＜０　f′(x)＞０　f(a)　(２)０　f′(x)＞０ f′(x)＜０　f(b)　(３)极值点　极值 ４．(２)最小值　最大值　最大值　最小值 [学业测评] １．D　f′(x)＝(x＋２)ex,令 f′(x)＞０,解 得:x＞ －２,故 f(x)在 (－２, ＋∞)上单调递增． ２．B　f(x)的定义域是(０,＋∞), f′(x)＝ １ x －１＝ １－x x , 令f′(x)＞０,解得０＜x＜１, 令f′(x)＜０,解得x＞１, 故f(x)在(０,１)递增,在(１,＋∞)递减, 故f(x)极 大 值 ＝f(１)＝－１,无极小值． ３．C　对函数求导可得,f′(x)＝x２－３x＋a, 若函数f(x)＝ １ ３x ３－ ３２x ２＋ax＋４在区间(０,４)上单调, 则f′(x)≥０或f′(x)≤０恒成立． 当f′(x)≥０时,Δ＝９－４a≤０,解得a≥ ９ ４ ; 当f′(x)≤０时, f′(０)＝a≤０, f′(４)＝４＋a≤０,{ 解得a≤－４, 所以a≤－４或a≥ ９４ , 则函数f(x)＝ １ ３x ３－ ３２x ２＋ax＋４在区间(０,４)上不 单 调 时,－４＜ a＜ ９４ , 即实数a 的取值范围为 －４,９４( ) ． ４．D　∵f(x)＝ex－ax２＋２ax, ∴f′(x)＝ex－２ax＋２a, 令f′(x)＝ex－２ax＋２a＝０,得ex＝２a(x－１), ∵f(x)有 ２ 个 极 值 点,故 方 程 ex ＝２a(x －１)有２个不同的实根, 即y＝ex 与y＝２a(x－１)的图象有２个交 点, 画出函数y＝ex 与y＝２a(x－１)的 图 象, 如图所示: 当２a＝e２,即a＝e ２ ２ 时,直 线y＝２a(x－ １)与y＝ex 的图象相切, 由图可 知 当 ２a＞e２,即 a＞ e ２ ２ 时,y＝ex 与y＝２a(x－１)的图象有两个交点, 即a 的取值范围是 e ２ ２ ,＋∞( ) ． ５．D　令h(x)＝f (x) x ,x∈(０,＋∞), 则h′(x)＝xf′ (x)－f(x) x２ , ∵xf′(x)－f(x)＜０,∴h′(x)＜０,∴ 函 数 h(x)在 (０,＋ ∞)上 单 调 递减, ∵２f(m－２０２０)＞(m－２０２０)f(２),∴m－２０２０＞０,m＞２０２０, ∴f (m－２０２０) m－２０２０ ＞ f(２) ２ ,即h(m－２０２０)＞h(２),故 m－２０２０＜２, 解得 m＜２０２２,故２０２０＜m＜２０２２． ６．BC　当a＝１时,f(x)＝ex＋lnx,易 知 函 数 f(x)在(０,＋∞)上 单 调 递增,无最大值,故 A 错误,对 于 任 意 的a＞０,函 数f(x)是 (０,＋ ∞) 上的增函数, 当x→０时,ex→１,lnx→－∞,故f(x)→－∞,故 B正确,D 错误, 对于任意的a＜０,f′(x)＝ex＋ a x ,易知f′(x)在(０,＋∞)单调递增, 当x→＋∞时,f(x)→＋∞,当x→０时,f(x)→－∞, ∴存在f′(x０)＝０, 当０＜x＜x０ 时,f′(x)＜０,函数单调递减, 当x＞x０ 时,f′(x)＞０,函数单调递增, ∴f(x)min＝f(x０), 故 C 正确,故选 BC． ７．解析:f′(x)＝６x２－１８x＋１２,令f′(x)＜０,即６x２－１８x＋１２＜０, 解得１＜x＜２． 答案:(１,２) ８．解析:f′(x)＝－３x２＋２ax－１≤０ 在 (－∞,＋∞)上 恒 成 立 且 不 恒 为 ０,Δ＝４a２－１２≤０⇒－ ３≤a≤ ３．即a 的取值范围是[－ ３,３]． 答案:[－ ３,３] ９．解析:∵f (x)＝ ２ x ＋alnx＋x ,定义域为(０,＋∞), f′(x)＝－ ２ x２ ＋ ax ＋１＝ x２＋ax－２ x２ , 由题知f′(１)＝a－１＝－２,解得a＝－１, 这时f′(x)＝ x２－x－２ x２ ,令f′(x)＝０,得x１＝２或x２＝－１(舍), 令f′(x)＞０,即x２－x－２＞０且x＞０,得x＞２, 所以函数y＝f (x)的递增区间为(２,＋∞)． 答案:－１　(２,＋∞) １０．解析:若函数y＝－ ４ ３x ３＋bx 有三个单调区间,则y′＝－４x２＋b＝０ 有两个不相等的实数根,所以b＞０． 答案:(０,＋∞) １１．解析:(１)∵f(x)＝２x３－３(a＋１)x２＋６ax＋b, ∴f′(x)＝６x２－６(a＋１)x＋６a, 故f(－１)＝