寒假作业七 直线的颔斜角与斜率-【我的假期我做主】2021年新教材高二数学寒假作业

　　没有大胆的猜测,就做不出伟大的发现．———牛顿 ３７ ９．解析:设 AE＝a(０≤a≤２),以 点 D 为 坐 标 原 点,DA→,DC→,DP→的 方 向 分 别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),则 D(０,０,０), E(１,a,０),C(０,２,０),P(０,０,１),则PE→＝ (１,a,－１),PC→＝ (０,２, －１),设 平 面 PEC 的 法 向 量 为 m ＝ (x,y,z),则 m⊥PE→, m⊥PC→,{ 即 x＋ay－z＝０, ２y－z＝０,{ 令y＝１,可得x＝２－a,z＝２,则 m＝(２－a,１,２),易 知平面 ABCD 的一 个 法 向 量 为DP→＝ (０,０,１),则|cos‹m,DP→›|＝ ２ (２－a)２＋５ ＝ ２２ ,解得a＝２－ ３或 ２＋ ３(舍 去),所 以 AE＝２ － ３．这时,平面 PEC 的法向量可以取(３,１,２),又因DP→＝(０,０,１), ∴点 D 到平面PEC 的距离为d＝|DP →􀅰m| |m| ＝ ２ ２ ２ ＝ ２２ ． 答案:２－ ３　 ２２ １０．解析:平面xOy 的法向 量 为n＝(０,０,１),设 平 面α 的 法 向 量 为u＝ (x,y,z), 则 －３x＋４y＝０, －３x＋az＝０,{ 即３x＝４y＝az, 取z＝１,则u＝ a３ ,a ４ ,１( ) ． 而cos‹n,u›＝ １ a２ ９ ＋ a２ １６＋１ ＝ ２２ , 又∵a＞０,∴a＝１２５ ． 答案:１２ ５ １１．解析:(１)证 明:连 接 B１C,ME．因 为 M,E 分别为BB１,BC 的 中 点,所 以 ME∥B１C, 且 ME＝ １２B１C． 又 因 为 N 为 A１D 的 中 点,所以 ND＝ １２A１D． 由题设知 A１B１􀱀DC,可 得 B１C􀱀A１D,故 ME􀱀ND,因 此 四 边 形 MNDE 为 平 行 四 边形,MN∥ED．又 MN⊄ 平 面 EDC１,所 以 MN∥平面C１DE． (２)由已 知 可 得 DE⊥DA．以 D 为 坐 标 原 点,DA 的方向为x 轴 正 方 向,DE 为y 轴 正 方 向,DD１为z 轴 正 方 向,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(２,０,０),A１(２,０,４),M(１,３,２),N(１,０,２),A１A→＝(０,０,－４), A１M→＝(－１,３,－２),A１N→＝(－１,０,－２),MN→＝(０,－ ３,０)． 设 m＝(x,y,z)为平面 A１MA 的法向量,则 m􀅰A１M→＝０, m􀅰A１A→＝０．{ 所以 －x＋ ３y－２z＝０, －４z＝０．{ 可取 m＝(３,１,０)． 设n＝(p,q,r)为平面 A１MN 的法向量,则 n􀅰MN→＝０, n􀅰A１N→＝０．{ 所以 － ３q＝０, －p－２r＝０,{ 可取n＝(２,０,－１)． 于是cos‹m,n›＝ m 􀅰n |m||n|＝ ２ ３ ２× ５ ＝ １５５ ,所 以 平 面 AMA１ 与 平 面 MA１N 的夹角的正弦值为 １０ ５ ． １２．解析:(１)证 明:法 一:连 接 GD,CD,设 CD∩GF＝O,连接 OH． 在三棱台 DEFＧABC 中, AB＝２DE,G 为AC 的中点, 可得 DF∥GC,DF＝GC, 所以四边形 DFCG 为平行四边形, 则 O 为CD 的中点． 又 H 为BC 的中点, 所以 OH∥BD．又 OH⊂平面 FGH, BD⊄平面 FGH, 所以 BD∥平面 FGH． 法二:在三棱台 DEFＧABC 中, 由 BC＝２EF,H 为BC 的中点, 可得 BH∥EF,BH＝EF, 所以四边形 BHFE 为平行四边形, 可得 BE∥HF． 在△ABC 中,G 为AC 的中点,H 为BC 的中点, 所以 GH∥AB． 又 GH∩HF＝H,所以平面 FGH∥平面 ABED． 因为 BD⊂平面 ABED, 所以 BD∥平面 FGH． (２)设 AB＝２,则CF＝１, 在三棱台 DEFＧABC 中, G 为AC 的中点, 由 DF＝ １２AC＝GC , 可得 四边形 DGCF 为平行四边形, 因此 DG∥FC, 又 FC⊥平面 ABC, 所以 DG⊥平面 ABC, 在△ABC 中,由 AB⊥BC,∠BAC＝４５°,G 是AC 的中点, 所以 AB＝BC,GB⊥GC, 因此 GB,GC,GD 两两垂直． 以 G 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 所以 G(０,０,０),B(２,０,０),C(０,２,０),D(０,０,１)． 可得 H ２ ２ ,２ ２ ,０( ) ,F(０,２,１), 故GH→＝ ２ ２ ,２ ２ ,０( ) ,GF→＝(０,２,１), 设n＝(x,y,z)是