寒假作业三 空间向量基本定理-【我的假期我做主】2021年新教材高二数学寒假作业

　　数学是一种理性的精神,是人类的思维得以运用到最完善的程度．———克莱因 ３３ ４．CD　∵在四棱锥SＧABCD 中,底 面 ABCD 是 边 长 为１的正方形,SA＝SB＝SC＝SD＝２． ∴SA→－SB→＋SC→－SD→＝BA→＋DC→＝０,故 C 正 确,排 除选项 A,B; ∵SA→􀅰SB→＝２×２×cos∠ASB,SC→􀅰SD→＝２×２× cos∠CSD, 又△ASB≌△CSD,故 ∠ASB＝ ∠CSD,∴SA→􀅰SB→ ＝SC→􀅰SD→,故 D 正确． ５．B　∵AC′→＝AB→＋BC→＋CC′→, ∴AC′→２＝(AB→＋BC→＋CC′→)２＝AB→２＋BC→２＋CC′→２＋２(AB→􀅰BC→＋AB→ 􀅰CC′→＋BC→􀅰CC′→) ＝１２＋２２＋３２＋２(０＋１×３cos６０°＋２×３cos６０°) ＝１４＋２× ９２ ＝２３ , ∴|AC′→|＝ ２３,即 AC′的长为 ２３． ６．B　 以 D１ 为 坐 标 原 点,分 别 以 D１A１,D１C１,D１D 所 在 直 线 为 x 轴,y 轴,z 轴,建 立 空 间 直 角 坐 标 系,如图所示． 设正 方 体 内 切 球 球 心 为 S,MN 是 该内切球的任意一条直径, 则内切球的半径为１, 所以PM→􀅰PN→＝(PS→＋SM→)􀅰(PS→ ＋SN→)＝(PS→＋SM→)􀅰(PS→－SM→) ＝PS→２－１∈[０,２]． 所以PM→ 􀅰PN→ 的 取 值 范 围 是 [０, ２]． ７．解析:∵a＝(２,－１,２),b＝(６,－３,２), ∴a＋λb＝(２＋６λ,－１－３λ,２＋２λ), 由(a＋λb)⊥a,得２(２＋６λ)＋(１＋３λ)＋２(２＋２λ)＝０, 解得λ＝－ ９１９． 答案:－ ９１９ ８．解析:如图, ∵GE→ ＝GD→ ＋DA→ ＋AE→ ＝ １２ CD → －AD→ ＋ １ ２AB → ＝ １２AD →－ １２AC →－AD→＋ １２AB →＝ １２AB →－ １ ２AC →－ １２AD →, ∴GE→ 􀅰 AC→ ＝ １２AB →－ １２AC →－ １２AD →( ) 􀅰 AC→ ＝ １２ AB → 􀅰 AC→ － １ ２AC →２－ １２AD →􀅰AC→＝－ １２AC →２＝－ １２ ． 答案:－ １２ ９．解析:∵CD→＝CA→＋AB→＋BD→＝AB→－AC→＋BD→, ∴CD→２＝(AB→－AC→＋BD→)２ ＝AB→２＋AC→２＋BD→２－２AB→􀅰AC→＋２AB→􀅰BD→－２AC→􀅰BD→＝１６＋３６ ＋６４＝１１６, ∴|CD→|＝２ ２９． 答案:２ ２９ １０．解析:设点 O 是此正四面体的内切球的球心,半径 R＝１． ∵PM→􀅰PN→≤|PM→||PN→|, ∴当点 P,M,N 三点共线时,PM→􀅰PN→取得最大值． 当且仅当点 P 为正四面体的一个顶点时上式取得最大值, ∴(PM→􀅰PN→)max＝４ ６３ × ２ ６ ３ ＝ １６ ３ ． 答案:１６ ３ １１．解析:(１)根据题意,点 D 是棱AB 的中点,点E 在棱 OC 上,连接 OD,CD, 且OE→＝λOC→,OA→＝a,OB→＝b,OC→＝c． ∴DE→＝OE→－OD→＝λOC→－ １２ (OA →＋OB→)＝λc － １２a－ １ ２b． (２)根据题意,点D 是棱AB 的中点,则|OD|＝ ３ ２ ,且cos∠DOE＝ ３３ , |DE→|２＝|OE→－OD→|２＝OE→２－２OE→􀅰OD→＋OD→２＝λ２－２×λ×１× ３２ ×cos∠DOE＋ ３４ ＝λ ２－λ＋ ３４ ＝ λ－ １ ２( ) ２ ＋ １２ , 则当λ＝ １２ 时,|DE→|２ 取得最小值 １２ , 则|DE→|的最小值为 ２２ ． １２．解析:设AB→＝p,AC→＝q,AD→＝r． 由题意,可知|p|＝|q|＝|r|＝a,且p,q,r三向量两两夹角均为６０°． (１)证明:MN→＝AN→－AM→＝ １２ (AC →＋AD→)－ １２AB →＝ １２ (q＋r－p), ∴MN→􀅰AB→＝ １２ (q＋r－p)􀅰p＝ １ ２ (q􀅰p＋r􀅰p－p２)＝ １ ２ (a２􀅰 cos６０°＋a２􀅰cos６０°－a２)＝０, ∴MN⊥AB,同理可证 MN⊥CD． ∴MN 为AB 与CD 的公垂线． (２)由(１)可知MN→＝ １２ (q＋r－p), ∴|MN→|２＝ １４ (q＋r－p) ２＝ １４ [q２＋r２＋p２＋２(q􀅰r－q􀅰p－r􀅰 p)]＝ １ ４ a ２＋a２＋a２＋２ a ２ ２ － a２ ２ － a２ ２( )[ ] ＝ １ ４ ×２a ２＝a ２ ２ ． ∴|MN→|＝ ２２a,∴MN 的长度为 ２