寒假作业十二 椭圆-【我的假期我做主】2021年新教材高二数学寒假作业

　　哈尔莫斯说:“数学是一种别具匠心的艺术”． ４１ １０．解析:圆C１:x２＋y２＝４,圆 C２:x２＋y２＋４x－４y＋４＝０,即(x＋２)２ ＋(y－２)２＝４,所以直线l是C１C２的中垂线,由C１(０,０),C２(－２,２) 知kC１C２ ＝－１ ,且C１C２的中点坐标 为(－１,１),∴kl＝１,所 求l的 方 程为y－１＝x＋１,即x－y＋２＝０． 答案:x－y＋２＝０ １１．解析:圆 C 的 标 准 方 程 为 (x－２)２＋(y－２)２ ＝１,∴圆C 关于x 轴对称的圆C′的方程为(x －２)２＋(y＋２)２＝１． 设直线l的斜率为k,则 直 线l的 方 程 为y－３ ＝k(x＋３),即kx－y＋３＋３k＝０, ∴|２k＋２＋３＋３k| １＋k２ ＝１,∴k＝ － ３４ 或 k＝ － ４３ ． ∴光线l所在直线的方程为３x＋４y－３＝０或４x＋３y＋３＝０． １２．解析:(１)由题意得 y ＝０, x２－(１＋a)x＋y２－ay＋a＝０,{ 得x２－(１＋a)x＋a＝０, 由题意得Δ＝(１＋a)２－４a＝(a－１)２＝０,所以a＝１． 故所求圆C 的方程为x２－２x＋y２－y＋１＝０． (２)令y＝０,得x２－(１＋a)x＋a＝０,即(x－１)(x－a)＝０, 所以 M(１,０),N(a,０),假设存在实数a, 当直线 AB 与x 轴不垂直时, 设直线 AB 的方程为y＝k(x－１), 代入x２＋y２＝４得,(１＋k２)x２－２k２x＋k２－４＝０, 设 A(x１,y１),B(x２,y２), 从而x１＋x２＝ ２k２ １＋k２ ,x１x２＝ k２－４ １＋k２ ． 因为直线 NA,NB 的斜率之和为 y１ x１－a ＋ y２ x２－a ＝ k[(x１－１)(x２－a)＋(x２－１)(x１－a)] (x１－a)(x２－a) 而(x１－１)(x２－a)＋(x２－１)(x１－a)＝２x１x２－(a＋１)(x２＋x１)＋ ２a＝２k ２－４ １＋k２ －(a＋１)２k ２ １＋k２ ＋２a ＝２a－８ １＋k２ , 因为∠ANM＝ ∠BNM,所 以 y１ x１－a ＋ y２ x２－a ＝０,即２a－８ １＋k２ ＝０,得 a ＝４． 当直线 AB 与x 轴垂直时,也成立． 故存在a＝４,使得∠ANM＝∠BNM． 寒假作业十二　椭圆 [知识梳理] ３．(c,０),(－c,０)　(０,c),(０,－c)　b２＋c２ [学业测评] １．ABD　A 中,|F１F２|＝８,则 平 面 内 到 F１,F２两 点 的 距 离 之 和 等 于 ８ 的 点的轨迹是线段,所以 A 错误;B中,到F１,F２两点的距离之和等于 ６,小于|F１F２|,这 样 的 轨 迹 不 存 在,所 以 B 错 误;C 中,点 M(５,３)到 F１,F２两 点 的 距 离 之 和 为 (５＋４)２＋３２ ＋ (５－４)２＋３２ ＝４ １０ ＞|F１F２|＝８,则 其 轨 迹 是 椭 圆,所 以 C 正 确;D 中,轨 迹 应 是 线 段 F１F２的垂直平分线,所以 D 错误． ２．B　∵２c＝|F１F２|＝２ ３,∴c＝ ３． ∵２a＝|PF１|＋|PF２|＝２|F１F２|＝４ ３,∴a＝２ ３． ∴b２＝a２－c２＝９． 故椭圆C 的标准方程是x ２ １２＋ y２ ９ ＝１ 或x ２ ９ ＋ y２ １２＝１． ３．B　易知b２＋１＞１,由题意得 (b２＋１)－１ b２＋１ ＝ b ２ b２＋１ ＝ １１０ ,解 得b＝ １３ 或 b＝－ １３ (舍去)． ４．C　由题意,２c＝８,即c＝４, ∵△PF１F２ 面积的最大值为１６,∴ １ ２ ×２c×b＝１６ , 即４b＝１６,b＝４, ∴a２＝b２＋c２＝１６＋１６＝３２． 则椭圆的标准方程为x ２ ３２＋ y２ １６＝１． ５．A　由题意可知 D(c,２),E － ７５c ,－ ２５( ) , 将 D,E 代入椭圆方程 c２ a２ ＋ ２ b２ ＝１, ４９c２ ２５a２ ＋ ２ ２５b２ ＝１,{ 解得a２＝８,b２＝４, 所以椭圆方程为x ２ ８ ＋ y２ ４ ＝１ , 所以椭圆的焦点 F１(－２,０),F２(２,０), 由 P 在圆x２＋y２＝１上,设 P(cosθ,sinθ), 所以|PF１|􀅰|PF２|＝ (cosθ＋２)２＋sin２θ􀅰 (cosθ－２)２＋sin２θ ＝ ２５－１６cos２θ, 所以|PF１|􀅰|PF２|的取值范围[３,５]． ６．CD　椭圆Γ:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的离心率为 ２２ , ∴e２＝１－b ２ a２ ＝ １２ , ∴a２＝２b２,故 A 错; 设 A(x１,y１),B(x２,y２),D(x０,y０)． x２１ a２ ＋ y２１