专题4 基本初等函数的图像和性质考点剖析 - 2021年高考数学二轮经典专题深度解读

专题4 基本初等函数的图像和性质考点剖析 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)． 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)． ②y＝f(x)y＝f(－x) ③y＝f(x)y＝－f(－x) ④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x＞0) (3)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)| ②y＝f(x)y＝f(|x|) (4)伸缩变换 ①y＝f(x) →y＝f(ax) ②y＝f(x) →y＝af(x) 常用结论 1．函数图象平移变换的八字方针 (1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量． (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值． 2．函数图象对称的三个重要结论 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称． (3)若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足： f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 考点一　作函数的图像 1．如图所示，定义域在上的奇函数的部分图象是抛物线的一部分. （1）补全的图象并求的值； （2）求的解析式. 【答案】（1）作图见解析，；（2）. 【解析】（1）如图所示补全图象. 由图有，，因此，； （2）由图可设当时，. 由图有，有，故，所以当时，； 当时，； 当时，则，. 综上所述，函数的解析式为. 2．已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求的解析式，并补全的图象； （2）求使不等式成立的实数的取值范围． 【答案】（1），作图见解析；（2）. 【解析】 （1）设，则，于是， 又因为是偶函数， 所以， 所以； 补全图象见下图． （2）因为是偶函数， 所以原不等式等价于． 又由（1）的图象知：在上单调递增， 所以， 两边平方得， 即 解得． 所以实数的取值范围是． 直接法。当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象。 转化法。含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号；转化为分段函数来画图象。 图像变换法。若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响。 考点二　函数图像的辨别 3．函数的图象大致为（ ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 因为， 所以， 即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D， 又因为，当且仅当时取等号， 所以， 当时，，当时，， 所以，当时，，当时，，故排除A、B， 故选：C． 4．已知函数，则函数的图象可能是（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 ，则，， 所以，函数的图象关于点对称，排除A选项； ，则， 当，时，，函数单调递增， 又，，排除D选项； 当，时，，函数单调递减， 又，，排除C选项. 故选：B． (1)抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性 (2)抓住函数的特征，定量计算： 利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题 考点三　函数图像的应用 求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是： →→→ 考向一 研究函数的性质 5．下列命题中所有正确的序号是_____________. ①函数且的图像一定过定点； ②函数的定义域是，则函数的定义域为； ③若，则的取值范围是； ④若 (,)，则. 【答案】①③④ 【解析】 ①令，则，即图象过点，①正确； ②，则，∴的定义域是，②错； ③，∴，∴．③正确； ④由 (,)，得， 又是上的增函数， ∴由，得，即，④正确． 故答案为：①③④ 6．下列说法： ①函数的单调增区间是； ②若函数定义域为R且满足，则它的图象关于轴对称； ③函数的值域为； ④函数的图象和直线的公共点个数是，则的值可能是； ⑤若函数在上有零点，则实数的取值范围是.其中正确的序号是______. 【答案】③④⑤ 【解析】 对于①，令，则或， 在上，为减函数，在上，为增函数， 而为减函数，故函数的单调增区间是， 故①错误. 对于②，若函数定义域为R且满足， 则它的图象关于直线轴对称，故②错误. 对于③，函数，故为上的奇函数， 当时，， 因为，故