专题17二次函数的性质及应用（真题50道模拟40道）-5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（四川专用）

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（四川专用） 专题17二次函数的性质及应用（真题50道模拟40道） ( 五年中考真题 ) 1．（2020•绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x＝﹣10代入可求解． 【解析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO， 设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2， ∵BC＝10， ∴点B（﹣5，0）， ∴0＝a×（﹣5）2， ∴a， ∴大孔所在抛物线解析式为yx2， 设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2， ∵EF＝14， ∴点E的横坐标为﹣7， ∴点E坐标为（﹣7，）， ∴m（x﹣b）2， ∴x1b，x2b， ∴MN＝4， ∴|b﹣（b）|＝4 ∴m， ∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y（x﹣b）2， ∵大孔水面宽度为20米， ∴当x＝﹣10时，y， ∴（x﹣b）2， ∴x1b，x2b， ∴单个小孔的水面宽度＝|（b）﹣（b）|＝5（米）， 故选：B． 2．（2020•眉山）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a＜3 C．﹣2≤a＜3 D．﹣2≤a≤3 【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，解得a≥﹣2；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出答案． 【解析】∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点， ∴△＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣4）≥0 解得：a≥﹣2； ∵抛物线的对称轴为直线xa，抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大， ∴a≤3， ∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3． 故选：D． 3．（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（　　） ①abc＞0； ②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等； ③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点； ④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值． A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④ 【分析】根据待定系数法，方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解． 【解析】依照题意，画出图形如下： ∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0． ∴a＜0，c＞0，对称轴为x1， ∴b＝2a＜0， ∴abc＞0，故①正确， ∵对称轴为x＝﹣1， ∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误； ∵顶点为（﹣1，n）， ∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n， 联立方程组可得：， 可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0， ∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an， ∵无法判断△是否大于0， ∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误； 当﹣3≤x≤3时， 当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确， 故选：C． 4．（2020•泸州）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．4 【分析】求出抛物线的对称轴x＝b，再由抛物线的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），也可以得到对称轴为，可得b＝c+1，再根据二次函数的图象与x轴有公共点，得到b2﹣4c≤0，进而求出b、c的值． 【解析】由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点， ∴（﹣2b）2﹣4×1×（2b2﹣4c）≥0，即b2﹣4c≤0 ①， 由抛物线的对称轴xb，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m）， b，即，c＝b﹣1 ②， ②代入①得，b2﹣4（b﹣1）≤0，即（b﹣2）2≤0，因此b＝2， c＝b﹣1＝2﹣1