重难点06 函数与导数-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

重难点 06 函数与导数 【高考考试趋势】 在新高考全国卷的考点中，导数板块常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容 。函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不 等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的。 对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值的关系以及最值的求解。本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导数题目的思路解析与解题套路，从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧。 【知识点分析及满分技巧】 对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，函数的单调性的判定。因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定的。所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性。 对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值。 恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说，恒成立选择小题可以采用排除法与特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而判定出函数的最值。 函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解。 对于比较复杂的导数题目，一般需要二次求导，但是要注意导数大小与原函数之间的关系，搞清楚导数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在。 含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采取的方法是： 1、 双变量常见解题思路： 1、 双变量化为单变量→寻找两变量的等量关系；2、转化为构造新函数； 2、 含参不等式常见解题思路： 1、 参数分离；2、通过运算化简消参（化简或不等关系）；3、将参数看成未知数，通过它的单调关系来进行消参。 【限时检测】（建议用时：90分钟） 一、单选题 1．（2021·湖南株洲市·高三一模）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能；因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次运算.现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（ ）（参考数据：） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】B 【分析】 根据题目意思得到，根据对数运算求出. 【详解】 解：设这台机器破译所需时间大约为秒， 则，两边同时取底数为10的对数 得， 所以， 所以 所以， 所以， 而， 所以. 故选：B. 【点睛】 对数运算的一般思路: （1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并； （2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 2．（2019·天津高三其他模拟）设 ，， ，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果. 【详解】 ，， ， ， ，， ， 故选：C． 【点睛】 方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 3．（2020·开原市第二高级中学高三三模）已知函数，若，，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 应用零点存在定理求解． 【详解】 函数，若，， 可得，解得或，则实数的取值范围是， 故选：A． 4．（2020·河南开封市·高三一模（理））某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数图象，由函数基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 A选项，， 则， 所以是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，满足题中图象； 又当时，，由可得，解得或；由可得，解得，满足题中图象，故该函数的解析式可能是；A正确； B选项，当时，，，所以，不满足题意；排除B； C选项，由得，即不过原点，不满足题意；排除C； D选项，因为