第二讲 数列的通项公式-【邦你学】2021高二数学寒假作业讲义

第2讲 数列的通项公式 一、知识梳理 1.等差数列通项公式 通项公式，为首项，为公差. 2. 等比数列通项公式 通项公式：，为首项，为公比 . 3.数列的前项和与通项的公式： ①； ②. 2、 典型例题 考点一、由数列的前几项归纳数列的通项公式 由数列的前几项求通项公式，要注意统一各项的形式，如分式、根式等，还要熟记一些常用的基本数列，一个较为复杂的数列常可视为由基本数列运算得到。常用的基本数列有 EMBED Equation.DSMT4 等。 例1、写出数列 的一个通项公式。 解：数列的前5项可改写为 。分子构成规律为 ，分母为连续两个奇数的积。故 。 变式： 写出数列 的一个通项公式。 解：先写出满足非0项的一个通项公式为 ，再与 相乘，得到要求的通项公式。 故 。 变式：（1）已知数列 ，则该数列第 项是（ ） A． B． C． D． （2）已知数列 满足 ，则 的前10项和为______． （3）“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数： 它的第8个数是________． 【解析】（1）由数列 ，可发现其项数为 ，则前 个括号里共有 项，前 个括号里共有 项，故原数列第 项是第 个括号里的第 项，第 个括号里的数列通项为 ，所以第 个括号里的第 项是 .故选：C. （2）∵数列 满足 ， ， ， ， 数列 是周期为3的周期数列，∴ ， 则 的前10项和 EMBED Equation.DSMT4 ．故答案为： ． （3）将这一组数： ，可化为 ， 可得分母是 ，分子构成首项为1，公差为1的等差数列， 所以数列的通项公式为 ，所以 ． 考点二、直接利用等差数列或等比数列的定义求通项 例2、已知数列 中， ，求 。 解： ， 为公差为2的等差数列， 。 变式：已知数列 ，求 。 解：∵ ， 为公比为3的等比数列， 。 考点三、已知前n项和 求通项公式 例3、数列 的前n项和 ，求数列 的通项公式 。 解：当 时， 。当 时， ， 经检验不适合 的情形。故 。 变式：（1）设正项数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ） A．24 B．48 C．64 D．72 【解析】因为 所以当 时，由 ，得 ， 当 时， 得 ， ∴ ， ． ∵ ，∴ ． ∴ 是以 为首项， 为公差的等差数列，∴ ，则 ．故选：B （2）已知数列 的前 项和为 且满足 ，则数列 的通项 ___ 【解析】当 时, ,解得 ； 由 ,可知当 时, ,两式相减,得 ,即 , 所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 , （3）已知 为 的前 项和， 是等比数列且各项均为正数，且 ， ， . （1）求 和 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 项和 . 【解析】（1）当 时， ， 当 时， ，也适合上式， 故 ； 设等比数列 的公比为 ，由题意可知： ， 因为 ，所以由 或 ， 因为 ，所以 ，因此 ， 所以 ， ； （2）由（1）可知： ， ， 所以 ， 因此 ， ， 得， ， 所以 . 考点四、累加（乘）法 利用恒等式 求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如 的递推数列通项公式的基本方法（其中数列 可求前n项和）。 例4-1、已知数列 中， ，求通项公式 。 解： ∴ 。 变式：已知数列 中， EMBED Equation.DSMT4 ，求 。 解： 。以上 个式子相加得， 。 利用恒等式 求通项公式的方法称为累乘法。累乘法 是求型如 的递推数列通项公式的基本方法（数列 可求前n项积）。 例4-2、已知数列 中， ，其中 ,求通项公式 。 解：由已知 ，∴ EMBED Equation.DSMT4 。 变式：在数列 中， 是则 等于_____. 解析： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.DSMT4 . 考点五、待定系数法 常用的有以下几种： 1.若递推公式为 ， 则可设 。 。 2. 若递推公式为 ， 则可设 。 3. 若递推公式为 ， 则可设 。 4. 若递推公式为 ， 则可设 。 例5、已知数列 中， EMBED Equation.DSMT4 ，求 的通项公式。 解： ， ，又 故数列 是首项为2，公比为2的等比数列。 ，即 。 变式. 已知数列 中，若 EMBED Equation.DSMT4 ，求 。 解： EMBED Equation.DSMT4 ， ，即 ， 为公比为3的等比数列。又 ， 。 例6、 已知数列 满足 ， ，求 的通项公式。 解：令 ，展开并移项得， ，把此式与 比照可得， 。所以 ， 数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列。 。 变式：已知数列 满足 ， ，求 的通