第五讲 直线与椭圆的位置关系-【邦你学】2021高二数学寒假作业讲义

第2讲 直线与椭圆的位置关系 1、 知识梳理 1．直线与椭圆位置关系的判断 将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离． 2. 注意根与系数的关系的应用. （1）弦长公式： 斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别是 ， 则 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 . 或|AB|＝ . 3. 有关中点弦问题. （1）已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用根与系数的关系. （2）有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“点差法”可简化运算. 当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化． 4. 圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决. （1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决. （2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数、三角函数、均值不等式等）求最值. 二、典型例题 考点1、直线与椭圆的位置关系 例1、已知直线l： ，椭圆C： .试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点. 解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立， 得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点. <m<3 (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. (3)当Δ<0，即m<－3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点. 或m>3 变式：直线 与椭圆 的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 答案　A 考点2、中点弦及弦长问题 例2、已知椭 ， (1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程； (2)求过点 且被P点平分的弦所在直线的方程. 解　(1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有： ＝1，②)),2)＋y＝1，①,\f(x,2)＋y ①－②得， ＝－＝－ 所以－， ＝ 化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分). (2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－，化简得2x＋4y－3＝0. ＝－，因此所求直线方程是y－＝－ 例3、已知椭圆C： 的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. ＝ 解　(1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)， 由题意可得 解得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3， 故椭圆C的标准方程为＝1. ＋ (2)假设存在斜率为－1的直线l，设为y＝－x＋m， 由(1)知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)， 所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1， 由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝<1， 得|m|<. |AB|＝2， ×＝＝2 联立得消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0， 由题意得Δ＝(－8m)2－4×7(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则x1＋x2＝， ，x1x2＝ |CD|＝， ××|AB|＝＝×＝×＝×|x1－x2|＝ 解得m2＝. <7，得m＝± 即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±. 变式：(1)已知斜率为2的直线经过椭圆 的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________. (2)若椭圆的中心在原