第四讲 圆锥曲线性质-【邦你学】2021高二数学寒假作业讲义

第2讲 圆锥曲线性质 1、 知识梳理 1. 求解曲线的离心率： 求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定 ， ， 的等量关系，然后把 用 ， 代换，求 的值；在双曲线中由于 ，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于 ， ， 的不等式，再根据 ， ， 的关系消掉 得到关于 ， 的不等式，由这个不等式确定 ， 的关系． 2. 求解特定字母取值范围问题的常用方法： （1） 构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围． （2） 构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围． （3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解. 3.圆锥曲线中的最值问题： 一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 常见的几何方法有：（1）直线外一定点 到直线上各点距离的最小值为该点 到直线的垂线段的长度；（2）圆 外一定点 到圆上各点距离的最大值为 ，最小值为 ( 为圆 半径)；（3）过圆 内一定点 的圆的最长的弦即为经过 点的直径，最短的弦为过 点且与经过 点直径垂直的弦；（4）圆锥曲线上本身存在最值问题，如①椭圆上两点间最大距离为 (长轴长)；②双曲线上两点间最小距离为 (实轴长)；③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为 ， 与 分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近． 常用的代数方法有：（1）利用二次函数求最值；（2）通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；（3）利用基本不等式求最值；（4）利用导数法求最值；（5）利用函数单调性求最值. 2、 典型例题 考点1、圆锥曲线离心率问题 例1、已知双曲线 的右焦点与圆 的圆心重合，且圆 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为 ，则双曲线的离心率为 　　 A．2 B． C． D．3 【解答】解： 双曲线 的右焦点与圆 的圆心重合， ， 圆 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为 ，则圆心 到渐近线距离 又 ． ， 则双曲线的离心率为 ． 故选： ． 例2、椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上任一点，且 的最大值的取值范围是 ，其中 ，则椭圆 的离心率 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：由基本不等式得 ， 又 ，所以 ，即 ， 所以 ，此时 ， 所以 ，得 ，所以 ， 又 ，得 ． 例3、已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，直线 上存在一点 满足 ，则椭圆的离心率取值范围为 　　 A． B． C． D． 【解答】解：设 ， ，由 ，则 ， ， ， ， ， ，所以由 ，可得： ， 可得： ，整理可得： ，即 ， 解得： ，即 ，由于椭圆的离心率小于1，所以 ， 故选： ． 变式1、已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点， 为△ 的内心，且 ，若椭圆的离心率为 ，则 　　 A． B． C． D． 解：设△ 的内切圆半径为 ，则 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 可得 ． ，解得： ． 故选： ． 变式2、双曲线 的上焦点为 ， ，点 的坐标为 ，点 为双曲线下支上的动点，且 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为 　　 A． B． C．2 D． 解：双曲线 的上焦点为 ， ，点 的坐标为 ， ，三角形 的周长的最小值为8，可得 的最小值为5， 又 为双曲线的左焦点，可得 ，当 ， ， 三点共线时， 取得最小值，且为 ，即有 ，即 ， ，可得 ． 故选： ． 考点2、圆锥曲线最值问题 例4、巳知 、 为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△ 内切圆的圆心为 ，则圆心1到圆 上任意一点的距离的最小值为　 　． 解：设△ 的内切圆分别与 、 切于点 、 ，与 切于点 ， 则 ， ， ．又点 在双曲线右支上， ，即 ， ，而 ，设 点坐标为 ， ， ，解得 ，故内切圆的圆心 与在直线 上，故圆 上任意一点的距离的最小值为 故答案为：1． 例5、已知 是椭圆 的一个焦点， 是 上的任意一点，则 称为椭圆 的焦半径．设 的左顶点与上顶点分别为 ， ，若存在以 为圆心， 为半径上的圆经过点 ，则椭圆 的离心率的最